Lição 60 — Consolidação Trim 6: derivadas

Oblicz $f'(3)$ z definicji pochodnej dla $f(x) = x^2$.

Oblicz $f'(1)$ z definicji dla $f(x) = 1/x$.

Oblicz $f'(4)$ z definicji dla $f(x) = \sqrt{x}$.

Co to jest $f'(a)$ z formalnej definicji?

Niech $g(x) = x^2 \cos(1/x)$ dla $x \neq 0$ i $g(0) = 0$. Oblicz $g'(0)$ używając definicji.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

Oblicz $h'(x)$ dla $h(x) = e^x \sin x$.

Oblicz $q'(x)$ dla $q(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

Oblicz $p'(x)$ dla $p(x) = x \sin x$.

Oblicz $r'(x)$ dla $r(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$ i uprość.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = x^3 e^x$ i wyłącz odpowiedź.

Oblicz $y'(2)$ dla $y(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x + 1$.

Jaki jest prawidłowy wzór na pochodną iloczynu $u(x)\cdot v(x)$?

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = (2x+1)^5$.

Oblicz $g'(x)$ dla $g(x) = \sin(x^3)$.

Oblicz $k'(x)$ dla $k(x) = e^{x^2}$.

Oblicz $h'(x)$ dla $h(x) = \ln(2x + 3)$.

Oblicz $m'(x)$ dla $m(x) = \arcsin(x^2)$.

Oblicz $p'(x)$ dla $p(x) = \cos(\sin x)$.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = x^x$ ($x > 0$) używając logarytmizacji.

Oblicz $w'(x)$ dla $w(x) = \ln(\sin(3x) + 2)$.

Oblicz $y'$ przez różniczkowanie niejawne dla $x^2 + y^2 = 25$.

Oblicz $y'$ w $(1, 1)$ dla krzywej $x^3 + y^3 = 2$.

Oblicz $y'$ w $(0, \pi/2)$ dla $\sin(xy) = y$.

Oblicz $y'$ dla elipsy $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ i opisz styczną w $(3, 0)$.

Co oznacza "traktuj $y$ jako funkcję niejawną $x$" przy różniczkowaniu równania?

Oblicz $y''$ niejawnie dla $x^2 + y^2 = r^2$.

Oblicz $y'$ dla $x^2 y + xy^2 = 6$.

Oblicz $f''(x)$ dla $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$.

Oblicz $f^{(4)}(x)$ dla $f(x) = \sin x$.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = \arctan x$.

Oblicz $g'(x)$ dla $g(x) = \arctan(2x)$.

Oblicz $h'(x)$ dla $h(x) = \ln(2x)$ i zidentyfikuj najczęstszy błąd.

Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = a^x$, z $a > 0$ i $a \neq 1$.

Oblicz $f^{(50)}(x)$ dla $f(x) = \sin(2x)$.

Użyj linearyzacji $f(x) = e^x$ w $a = 0$ do przybliżenia $e^{0{,}1}$.

Użyj linearyzacji $f(x) = \sqrt{x}$ w $a = 25$ do przybliżenia $\sqrt{25{,}1}$.

Użyj linearyzacji $f(x) = \ln x$ w $a = 1$ do przybliżenia $\ln(1{,}05)$.

Co jest geometrycznie linearyzacja $L(x)$ funkcji $f$ w punkcie $a$?

Promień sfery wynosi $r = 5$ cm z błędem pomiaru $dr = 0{,}1$ cm. Użyj różniczki do oszacowania błędu bezwzględnego i względnego w objętości $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$.

Jeśli błąd względny w promieniu sfery wynosi $1\%$, jaki jest błąd względny w objętości? Uzasadnij różniczkami.

Objętość sfery rośnie z szybkością $2$ cm³/s. Jaka jest $dr/dt$ gdy $r = 2$ cm?

Odwrócony stożek ma stosunek promień/wysokość $r/h = 1/2$. Woda wpływa z szybkością $3$ m³/min. Jaka jest $dh/dt$ gdy $h = 2$ m?

Drabina $8$ m opiera się na ścianie. Podnóże przesuwa się z szybkością $1$ m/s. Gdy podnóże jest w odległości $5$ m od ściany, z jaką szybkością szczyt opada?

Dwa samochody wyjeżdżają z przecięcia: jeden jadzie na północ z szybkością $40$ km/h, drugi na wschód z szybkością $30$ km/h. Jaka jest szybkość zmian odległości między nimi gdy pierwszy przejechał $4$ km a drugi $3$ km?

Pokaż że, jeśli promień okręgu rośnie ze stałą szybkością $c$ cm/s, to szybkość zmian pola jest proporcjonalna do promienia $r$.

Promień okręgu rośnie z szybkością $1$ cm/s. Oblicz szybkość zmian pola gdy $r = 3$ cm.

Przeanalizuj różniczkowalność $f(x) = |x|$ w punkcie $x = 0$.

Wyznacz $a$ i $b$ żeby $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ ax + b, & x \geq 1 \end{cases}$ było klasy $C^1$ w punkcie $x = 1$.