Lição 61 — Máximos e mínimos
Pontos críticos, Teorema de Fermat, testes da 1ª e 2ª derivada, e o algoritmo de extremos absolutos em intervalos fechados.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis/Kurvendiskussion alemã
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Definicje, twierdzenia i algorytmy
Ekstrema lokalne i absolutne
"Jeśli f ma maksimum lub minimum lokalne w c, to c jest punktem krytycznym f." — Active Calculus §3.1
Test pierwszej pochodnej
Test drugiej pochodnej
"When the second derivative test is inconclusive, we resort to the first derivative test." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5
Twierdzenie o wartości ekstremalnej (Weierstrass)
Algorytm ekstremów absolutnych na [a, b]
Ekstrema lokalne występują w punktach krytycznych (gdzie ). Ekstrema absolutne mogą być ekstremami lokalnymi lub punktami końcowymi i .
Przykłady rozwiązane
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 61.1Application
Znajdź punkt krytyczny funkcji i sklasyfikuj go za pomocą testu drugiej pochodnej.
- Ex. 61.2Application
Sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji .
- Ex. 61.3ApplicationAnswer key
Znajdź ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.4ApplicationAnswer key
Sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne funkcji .
- Ex. 61.5Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.6ApplicationAnswer key
Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji .
- Ex. 61.7Application
Przeanalizuj punkty krytyczne funkcji .
- Ex. 61.8Application
Sklasyfikuj punkt krytyczny funkcji .
- Ex. 61.9Application
Znajdź ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.10Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.11Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.12ApplicationAnswer key
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.13Understanding
Jeśli i , to punkt to:
- Ex. 61.14Understanding
Które stwierdzenie o Twierdzeniu Fermata jest poprawne?
- Ex. 61.15Understanding
Jeśli i , jaki jest poprawny wniosek?
- Ex. 61.16Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.17
Wyznacz ekstremum lokalne funkcji .
- Ex. 61.18Application
Sklasyfikuj ekstrema lokalne funkcji .
- Ex. 61.19ApplicationAnswer key
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.20Application
Wyznacz ekstremum funkcji (krzywa Gaussa).
- Ex. 61.21Application
Znajdź ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.22Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.23Modeling
Firma sprzedaje produkt z popytem jednostek, gdy cena wynosi realów. Jaka cena maksymalizuje całkowity przychód?
- Ex. 61.24Modeling
Fabryka ma koszty (w realach) i przychód , produkując jednostek. Ile jednostek maksymalizuje zysk?
- Ex. 61.25Modeling
Model rakiety jest wystrzelony pionowo, a jego wysokość (w metrach) wynosi . Wyznacz maksymalną wysokość osiągniętą.
- Ex. 61.26Application
Znajdź minimum lokalne funkcji dla .
- Ex. 61.27Application
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji na .
- Ex. 61.28ProofAnswer key
Udowodnij Twierdzenie Fermata: jeśli ma maksimum lokalne w i jest różniczkowalna w , to .
- Ex. 61.29ProofAnswer key
Pokaż, że ma punkt krytyczny w , ale ten punkt nie jest ekstremum lokalnym.
- Ex. 61.30Challenge
Pokaż, że ma jeden punkt krytyczny i że jest to minimum globalne funkcji.
Źródła
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-1-tests.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com