Lição 62 — Otimização aplicada

Mając 100 m ogrodzenia, jakie jest największe pole prostokątne, które można ogrodzić?

Prostokątne pastwisko jest podzielone na połowę ogrodzeniem równoległą do szerokości. Całkowite ogrodzenie (obwód + przegroda) wynosi 120 m. Maksymalizuj pole.

Cylindryczny kubek (z dnem ale bez pokrywki) musi mieć objętość 500 cm³. Jakie wymiary minimalizują użyty materiał?

Prostokątne pudełko o kwadratowej podstawie i bez pokrywki musi mieć objętość 32 cm³. Materiał podstawy kosztuje R$ 2/cm², a boki R$ 1/cm². Zminimalizuj całkowity koszt.

Suma dwóch liczb dodatnich wynosi 20. Określ dwie liczby, które maksymalizują ich iloczyn.

Znajdź liczbę dodatnią $$ taką, że suma $$ i jej odwrotności pomnożonej przez 4 będzie minimalna.

Określ punkt na osi $$ najbliższy punktowi $$.

Określ punkt na linii $$ najbliższy punktowi $$.

Ze kartonu o wymiarach 24 cm × 9 cm, wycinasz kwadraty w rogach i zginasz krawędzie. Określ cięcie, które maksymalizuje objętość pudełka bez pokrywki.

Funkcja popytu produktu wynosi $$ (cena w R$ na jednostkę, $$ sprzedanych jednostek). Maksymalizuj całkowity przychód $$.

Firma ma przychód $$ i koszt $$. Określ produkcję, która maksymalizuje zysk.

Pudełko z pokrywką o kwadratowej podstawie musi mieć objętość 96 cm³. Zminimalizuj całkowitą powierzchnię.

W problemie optymalizacji z ograniczeniem, jaka jest prawidłowa rola równania ograniczenia?

Aby znaleźć maksimum lub minimum absolutne $$ na $$, należy:

Określ wymiary cylindra największej objętości wpisanego w sferę promienia $$.

Określ punkty paraboli $$ najbliższe punktowi $$.

Prostokątny obszar o powierzchni 300 m² będzie ogrodzony. Bok wschodni (długość $$) kosztuje R$ 2/m, a pozostałe boki kosztują R$ 3/m za metr. Zminimalizuj całkowity koszt.

Obiekt jest rzucany pionowo z prędkością początkową 20 m/s z wysokości 3 m. Model: $$. Określ maksymalną wysokość.

Puszka cylindryczna o objętości 200 cm³ ma materiał podstawy i pokrywki kosztujący R$ 10/cm² i boczny kosztujący R$ 6/cm². Określ wymiary, które minimalizują koszt.

Tor ćwiczeń ma kształt prostokąta z półkolami na dwóch krótszych bokach (tor owalny). Całkowity obwód wynosi 20 m. Określ promień $$, który maksymalizuje powierzchnię wewnętrzną.

Suma dwóch liczb wynosi 10. Znajdź dwie liczby, które minimalizują sumę ich kwadratów.

Suma dwóch liczb nieujemnych wynosi 1. Maksymalizuj iloczyn kwadratu pierwszej i drugiej.

Określ maksymalne pole prostokąta wpisanego w półkole promienia 5.

Określ punkt na krzywej $$ najbliższy punktowi $$.

Wycieczka kosztuje R$ 80 za osobę dla grup 100. Dla każdego dodatkowego pasażera taryfa dla wszystkich spada R$ 0,50. Ilu pasażerów maksymalizuje przychód?

Pomarańczownik o 25 drzewach na hektar daje 600 pomarańczy na drzewo. Dla każdego dodatkowego drzewa plon na drzewo spada o 12 pomarańczy. Ile drzew na hektar maksymalizuje całkowity plon?

Okno "normandzkie" składa się z prostokąta zwieńczonego półkolem. Całkowity obwód wynosi 10 m. Określ promień półkola, który maksymalizuje obszar okna.

Użyj rachunku, aby wykazać, że wśród wszystkich par liczb dodatnich o stałej sumie $$, iloczyn jest maksymalny, gdy dwie liczby są równe. (To dowodzi nierówności AM-GM dla dwóch wyrazów.)

Wykaż, że cylinder najmniejszej powierzchni dla stałej objętości $$ spełnia $$ (wysokość równa średnicy).

Określ maksymalne pole prostokąta wpisanego w elipsę $$, z bokami równoległymi do osi współrzędnych.