Lição 63 — Esboço de gráficos
Pipeline completo de análise gráfica via cálculo: domínio, interceptos, simetrias, assíntotas, monotonicidade (f'), concavidade (f''), pontos de inflexão e esboço final.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês (Kurvendiskussion) · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Proces analizy graficznej
Osiem kroków formalnych
"If f'(x) > 0 on an interval, then f is increasing on that interval. If f''(x) > 0, then f is concave up. These two pieces of information, combined with critical and inflection points, give a complete picture of the graph." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5
Tabela połączonego zachowania
| Zachowanie | ||
|---|---|---|
| rosnąca, wklęsła w górę | ||
| rosnąca, wklęsła w dół | ||
| malejąca, wklęsła w górę | ||
| malejąca, wklęsła w dół |
Definicja wklęsłości i przegięcia
Typowa krzywa: maksimum lokalne, dwa punkty przegięcia (zmiana wklęsłości), minimum lokalne. Punkty przegięcia występują tam, gdzie krzywiznę zmienia kierunek.
Przykłady rozwiązane
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 63.1Application
Określ przedziały wzrostu/spadku i wklęsłości .
- Ex. 63.2Application
Dla , określ: przedziały wzrostu/spadku, ekstrema lokalne, wklęsłość i punkty przegięcia.
- Ex. 63.3Application
Analizuj całkowicie : dziedzina, asymptoty, ekstrema, wklęsłość.
- Ex. 63.4Application
Narysuj (krzywa Gaussa): dziedzina, ekstrema, przegięcia, asymptota.
- Ex. 63.5ApplicationAnswer key
Analizuj dla : dziedzina, ekstrema, wklęsłość.
- Ex. 63.6Application
Narysuj : dziedzina, asymptoty pionowe i poziome, ekstrema.
- Ex. 63.7ApplicationAnswer key
Określ punkty przegięcia i przedziały wklęsłości .
- Ex. 63.8ApplicationAnswer key
Analizuj całkowicie : ekstrema, przegięcie, asymptota.
- Ex. 63.9Application
Analizuj : dziedzina, minimum, wklęsłość.
- Ex. 63.10Application
Określ asymptotę ukośną i narysuj .
- Ex. 63.11Application
Określ przedziały wzrostu, ekstrema lokalne i wklęsłość na .
- Ex. 63.12Understanding
Prawidłowa definicja punktu przegięcia to:
- Ex. 63.13Understanding
"Wklęsła w górę na przedziale" oznacza, że:
- Ex. 63.14Application
Analizuj całkowicie .
- Ex. 63.15Application
Analizuj : ekstrema, wklęsłość, zachowanie w nieskończoności.
- Ex. 63.16Application
Dla na , określ ekstrema lokalne, przegięcia i narysuj.
- Ex. 63.17Application
Narysuj : dziedzina, asymptoty, wzrost, wklęsłość.
- Ex. 63.18Application
Analizuj całkowicie : ekstrema, przegięcia, wklęsłość.
- Ex. 63.19ApplicationAnswer key
Określ dziedzinę, asymptoty i ekstrema ... (popraw: — funkcja parzysta z asymptotami w ).
- Ex. 63.20Application
Utwórz pełny szkic .
- Ex. 63.21ApplicationAnswer key
Analizuj dla : ekstrema, wklęsłość, miejsca przecięcia.
- Ex. 63.22Application
Określ asymptotę ukośną i ekstrema .
- Ex. 63.23Proof
Udowodnij, że jeśli na , wtedy wykres leży powyżej każdej stycznej na (funkcja wklęsła w górę leży powyżej jej stycznych).
- Ex. 63.24ChallengeAnswer key
Pokaż, że każdy wielomian sześcienny z ma dokładnie jeden punkt przegięcia i że wykres jest symetryczny względem tego punktu.
- Ex. 63.25Application
Narysuj całkowicie dla , włączając granicę gdy .
- Ex. 63.26Application
Analizuj całkowicie : ekstrema, przegięcia, wklęsłość, symetria.
- Ex. 63.27Application
Analizuj : dziedzina, maksimum, przegięcie, asymptota.
- Ex. 63.28Application
Analizuj ekstrema i symetrię .
- Ex. 63.29ApplicationAnswer key
Narysuj : asymptoty, ekstrema, parzystość.
- Ex. 63.30Challenge
Analizuj rodzinę krzywych z : określ ekstrema i przegięcia w zależności od parametrów. Jak i kontrolują kształt krzywej?
Źródła
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-2-families.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com