Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Sformułowanie, dowód i rozszerzenia
Sformułowanie formalne
"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
Idea dowodu (przypadek 0/0)
Przez Twierdzenie o wartości średniej Cauchy'ego: jeśli , dla bliskiego istnieje między a takie że:
Gdy , mamy , i granica przechodzi: (gdy iloraz pochodnych jest zbieżny).
Rozszerzenie na inne formy nieokreślone
"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8
Przykłady rozwiązane
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
Oblicz .
- Ex. 64.2Application
Oblicz .
- Ex. 64.3Application
Oblicz .
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Oblicz .
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Oblicz .
- Ex. 64.6Application
Oblicz .
- Ex. 64.7Application
Oblicz .
- Ex. 64.8Application
Oblicz .
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Oblicz .
- Ex. 64.10Application
Oblicz .
- Ex. 64.11Application
Udowodnij przez l'Hôpitala że .
- Ex. 64.12Application
Oblicz .
- Ex. 64.13Understanding
Ktoś chce obliczyć korzystając z l'Hôpitala. Co jest nie tak?
- Ex. 64.14Understanding
Jaka jest forma nieokreślona ?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Oblicz .
- Ex. 64.16Application
Oblicz .
- Ex. 64.17
Oblicz .
- Ex. 64.18Answer key
Oblicz .
- Ex. 64.19Answer key
Oblicz dla dodatniej liczby całkowitej.
- Ex. 64.20
Oblicz .
- Ex. 64.21Application
Oblicz .
- Ex. 64.22
Oblicz .
- Ex. 64.23
Oblicz .
- Ex. 64.24
Oblicz .
- Ex. 64.25Application
Spróbuj obliczyć przez l'Hôpitala. Co się dzieje? Jaka jest prawidłowa odpowiedź?
- Ex. 64.26
Oblicz .
- Ex. 64.27
Oblicz .
- Ex. 64.28Proof
Szkicuj dowód Reguły de l'Hôpitala dla przypadku , używając Twierdzenia o wartości średniej Cauchy'ego.
- Ex. 64.29Proof
Użyj Reguły de l'Hôpitala aby udowodnić fundamentalną granicę .
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Pokaż że dla każdego (funkcja wykładnicza dominuje każdą potęgę). Użyj iterowanego l'Hôpitala i argumentuj o liczbie potrzebnych zastosowań.
Fontes
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com