v1 · padrão canônico

Lição 65 — Polinômio de Taylor

Aproximação local de funções suaves por polinômios: série de Taylor/Maclaurin, resíduo de Lagrange e séries clássicas de e^x, sin x, cos x.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês · Equiv. Leistungskurs Analysis alemão · Cálculo I universitário

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja ścisła i właściwości

Wielomian Taylora

"If $f$ has $n$ derivatives at $x = a$ , then the $n$ th-order Taylor polynomial of $f$ centered at $a$ is $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ ." — APEX Calculus §8.6

Reszta Lagrange'a

"Let $f$ have $n + 1$ derivatives on an open interval $I$ and let $a \in I$ . For each $x \in I$ there exists a value $c$ between $a$ and $x$ such that $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 2 §6.3

Klasyczne szeregi Maclaurina

Funkcja	Szereg Maclaurina	Promień
$e^x$	$1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{x^k}{k!}$	$\infty$
$\sin x$	$x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty \tfrac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$	$(-1,1]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$	$[-1,1]$

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Maclaurin z e^x do rzędu 4 (zastosowanie bezpośrednie)

Problem. Znajdź wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = e^x$ rzędu 4 i oszacuj błąd w $x = 0{,}5$ .

Strategia. Ponieważ $\frac{d^k}{dx^k}e^x = e^x$ , wszystkie pochodne w $a = 0$ wynoszą $1$ . Złóż $P_4$ bezpośrednio. Użyj reszty Lagrange'a z $f^{(5)} = e^x$ .

Rozwiązanie.

Pochodne w $0$ : $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ dla każdego $k$ .
Wielomian: $P_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24}$ .
Błąd w $x = 0{,}5$ : $|R_4(0{,}5)| \leq \dfrac{e^\xi}{5!}(0{,}5)^5 \leq \dfrac{e^{0{,}5}}{120}\cdot\dfrac{1}{32} \approx \dfrac{1{,}649}{120 \cdot 32} \approx 0{,}000430$ .
Wartość przybliżona: $P_4(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}02083 + 0{,}002604 \approx 1{,}6484$ . Wartość dokładna: $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ — błąd mniejszy niż $3 \times 10^{-4}$ . ✓

Weryfikacja. Szacowany błąd $4{,}3 \times 10^{-4}$ jest większy niż błąd rzeczywisty $3 \times 10^{-4}$ : reszta Lagrange'a jest majorantą. ✓

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.17 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Taylor ln x wokół a = 1 (pośredni)

Problem. Uzyskaj wielomian Taylora rzędu 3 funkcji $f(x) = \ln x$ rozwinięty wokół $a = 1$ .

Strategia. Oblicz $f, f', f'', f'''$ w $x = 1$ . Złóż $P_3$ z $(x - 1)$ jako zmienną.

Rozwiązanie.

Pochodne: $f(x) = \ln x$ , $f'(x) = 1/x$ , $f''(x) = -1/x^2$ , $f'''(x) = 2/x^3$ .
W $a = 1$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 1$ , $f''(1) = -1$ , $f'''(1) = 2$ .
Wielomian: $P_3(x) = 0 + 1\cdot(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}.$
Test w $x = 1{,}1$ : $P_3(1{,}1) = 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333 \approx 0{,}09533$ . Wartość dokładna: $\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531$ . ✓

Weryfikacja. Szereg $\ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - \cdots$ z $u = x - 1$ pokrywa się z $P_3$ . ✓

Źródło. Active Calculus §8.5, Activity 8.5.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Granica poprzez Taylora: lim (sin x - x)/x^3 (pośredni)

Problem. Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ .

Strategia. Podstaw szereg Maclaurina $\sin x$ w liczniku i uprość. Unika iterowanych reguł L'Hôpitala.

Rozwiązanie.

Szereg: $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Licznik: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Dzielenie przez $x^3$ : $\dfrac{\sin x - x}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{x^2}{120} - \cdots$
Granica: gdy $x \to 0$ , wszystkie wyrazy z $x$ dążą do zera. Granica wynosi $\mathbf{-1/6}$ .

Weryfikacja. Zastosowanie L'Hôpitala trzy razy również dałoby $-1/6$ , ale metoda Taylora jest szybsza. ✓

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.20 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Błąd aproksymacji sin x ≈ x dla wahadła (modelowanie)

Problem. Wahadło używa aproksymacji $\sin\theta \approx \theta$ . Dla $\theta = 15° = \pi/12$ rad, jaki jest błąd procentowy względny?

Strategia. Oblicz $\sin(\pi/12)$ dokładnie i porównaj z $\pi/12$ . Oszacuj błąd poprzez następny wyraz szeregu: $-\theta^3/6$ .

Rozwiązanie.

Kąt w radianach: $\theta = \pi/12 \approx 0{,}2618$ rad.
Wartość dokładna: $\sin(\pi/12) = \sin(15°) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 \approx 0{,}2588$ .
Aproksymacja: $\theta = 0{,}2618$ .
Błąd bezwzględny: $|0{,}2618 - 0{,}2588| = 0{,}0030$ .
Błąd względny: $0{,}0030 / 0{,}2588 \approx 1{,}16\%$ .
Poprzez Taylora: błąd $\approx \theta^3/6 = (0{,}2618)^3/6 \approx 0{,}00298$ — bardzo zbliżony do obliczonego błędu. ✓

Weryfikacja. Dla $\theta < 0{,}1$ rad ( $\approx 5{,}7°$ ), błąd spada poniżej $0{,}017\%$ — uzasadniając użycie w inżynierii. ✓

Źródło. APEX Calculus §8.6, Exercise 8.6.13 — CC-BY-NC.

Example— 5· Maclaurin poprzez kompozycję: e^(sin x) do rzędu 3 (zaawansowany)

Problem. Uzyskaj wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = e^{\sin x}$ do rzędu 3.

Strategia. Podstaw szereg $\sin x$ do szeregu $e^u$ , zbierając wyrazy do $x^3$ .

Rozwiązanie.

Szereg sinusa: $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ .
$u = \sin x$ : zatem $e^u = 1 + u + u^2/2 + u^3/6 + O(u^4)$ .
Podstawianie: $u = x - x^3/6 + \cdots$ $u = x - x^{3} /6 + \dots$ , stąd:
- $u = x - x^3/6$
- $u^2 = x^2 - 2x\cdot x^3/6 + \cdots = x^2 + O(x^4)$
- $u^3 = x^3 + O(x^5)$
Montaż: $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + 0 \cdot x^3 + O(x^4).$
Wynik: $P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ .

Weryfikacja. W $x = 0$ : $f(0) = e^0 = 1$ ✓. $f'(0) = e^{\sin 0}\cos 0 = 1$ ✓. $f''(0) = e^{\sin 0}(\cos^2 0 - \sin 0) = 1$ ✓.

Źródło. APEX Calculus §8.6, Exercises 8.6.17–8.6.20 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 8Challenge 2Proof 4

Ex. 65.1Application
Napisz wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = e^x$ do $x^4$ .
Solve online
Ex. 65.2Application
Napisz wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = \sin x$ do $x^7$ .
Solve online
Ex. 65.3Application
Napisz wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = \cos x$ do $x^6$ .
Solve online
Ex. 65.4Application
Napisz wielomian Maclaurina funkcji $f(x) = \ln(1+x)$ do $x^4$ .
Solve online
Ex. 65.5ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $f(x) = 1/(1-x)$ do $x^5$ — to po prostu szereg geometryczny.
Solve online
Ex. 65.6Application
Maclaurin funkcji $f(x) = (1+x)^{1/2}$ do $x^3$ . Oblicz $f'$ , $f''$ , $f'''$ w $x = 0$ .
Solve online
Ex. 65.7Application
Maclaurin funkcji $\arctan x$ do $x^5$ (poprzez całkowanie $1/(1+x^2)$ ).
Solve online
Ex. 65.8Application
Maclaurin funkcji $\sinh x$ i $\cosh x$ do $x^5$ .
Solve online
Ex. 65.9Application
Maclaurin funkcji $e^{-x}$ do $x^4$ (bezpośrednia podstawienie w $e^x$ ).
Solve online
Ex. 65.10ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $\tan x$ do $x^5$ używając $\sin/\cos$ .
Solve online
Ex. 65.11ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $\cos(2x)$ do $x^4$ poprzez podstawienie.
Solve online
Ex. 65.12Application
Maclaurin funkcji $e^{x^2}$ do $x^6$ .
Solve online
Ex. 65.13ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $\cos(x^2)$ do $x^8$ .
Solve online
Ex. 65.14Application
Maclaurin funkcji $\ln(1 - x^2)$ do $x^6$ .
Solve online
Ex. 65.15ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $1/(1+x^2)$ do $x^6$ (szereg geometryczny z $u = -x^2$ ).
Solve online
Ex. 65.16ApplicationAnswer key
Maclaurin funkcji $e^x \sin x$ do $x^4$ .
Solve online
Ex. 65.17Application
Maclaurin funkcji $\sin x \cos x$ do $x^5$ (lub użyj $\sin(2x)/2$ ).
Solve online
Ex. 65.18Application
Maclaurin funkcji $x e^{-x}$ do $x^4$ .
Solve online
Ex. 65.19Application
Taylor funkcji $\ln x$ wokół $a = 1$ , rząd 4.
Solve online
Ex. 65.20Application
Taylor funkcji $\sqrt{x}$ wokół $a = 1$ , rząd 3.
Solve online
Ex. 65.21Application
Taylor funkcji $1/x$ wokół $a = 1$ , rząd 3.
Solve online
Ex. 65.22Application
Taylor funkcji $\cos x$ wokół $a = \pi/4$ , rząd 4.
Solve online
Ex. 65.23Modeling
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ używając Taylora.
Solve online
Ex. 65.24Modeling
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ używając Taylora.
Solve online
Ex. 65.25Modeling
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$ .
Solve online
Ex. 65.26Modeling
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 65.27Modeling
Oszacuj $\ln(1{,}1)$ z błędem mniejszym niż $10^{-4}$ używając szeregu Maclaurina. Powiedz jaki rząd użyć.
Solve online
Ex. 65.28ModelingAnswer key
Przybliż $\sin(0{,}1)$ z błędem mniejszym niż $10^{-6}$ . Powiedz użyty rząd.
Solve online
Ex. 65.29Modeling
Przybliż $\sqrt{1{,}1}$ używając Taylora $\sqrt{1+x}$ w $a = 0$ do rzędu 2.
Solve online
Ex. 65.30Modeling
Energia relatywistyczna: $E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . Rozwiń w potęgach $v/c$ i zidentyfikuj wyrazy $E_0 = mc^2$ i $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ .
Solve online
Ex. 65.31Understanding
Co czyni $P_n$ "najlepszym przybliżającym wielomianem stopnia $n$ " w $a$ ?
Solve online
Ex. 65.32UnderstandingAnswer key
Pokaż że jeśli $f$ jest wielomianem stopnia $\leq n$ , to $P_n = f$ dokładnie (nie tylko przybliżenie).
Solve online
Ex. 65.33Understanding
Uzasadnij że $e^x$ ma promień zbieżności nieskończony używając oszacowania Lagrange'a.
Solve online
Ex. 65.34UnderstandingAnswer key
W finansach, $(1 + r/n)^n \to e^r$ gdy $n \to \infty$ (odsetki ciągłe). Używaj Taylora $e^r$ aby oszacować roczny współczynnik wzrostu z $r = 12\%$ i porównaj z odsetkami prostymi.
Solve online
Ex. 65.35Challenge
Wyprowadź formułę Eulera $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ rozdzielając wyrazy parzyste i nieparzyste szeregu $e^z$ .
Solve online
Ex. 65.36Challenge
Pokaż że $f(x) = e^{-1/x^2}$ (z $f(0) = 0$ ) ma wszystkie pochodne równe zeru w 0 — stąd $P_n = 0$ dla każdego $n$ , ale $f \neq P_n$ .
Solve online
Ex. 65.37Proof
Udowodnij że szereg Maclaurina $e^x$ zbiega do $e^x$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ (użyj oszacowania reszty Lagrange'a).
Solve online
Ex. 65.38ProofAnswer key
Udowodnij wielowymiarowy Taylor rzędu 2 (z hessianem) redukując do 1D Taylora wzdłuż linii parametrycznej.
Solve online
Ex. 65.39Proof
Udowodnij formę Lagrange'a reszty poprzez uogólnione twierdzenie o wartości średniej.
Solve online
Ex. 65.40Proof
Całkuj szereg $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ aby uzyskać $\arctan x$ jako szereg. Użyj tego aby wyprowadzić formułę Leibniza: $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$
Solve online

Źródła

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §8.5 Taylor Polynomials and Taylor Series · CC-BY-NC-SA. Źródło podstawowe.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · §6.3 Taylor and Maclaurin Series · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §8.6 Taylor Polynomials · CC-BY-NC.