Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Określ wklęsłość $f(x) = x^2$ na całym $\mathbb{R}$. Czy istnieje przegięcie?

Określ wklęsłość i punkty przegięcia $f(x) = x^3$.

Wklęsłość $f(x) = x^4$. Czy jest przegięcie w $x = 0$? Uzasadnij znakiem $f''$.

Wklęsłość $f(x) = e^x$ na całym $\mathbb{R}$. Czy istnieje przegięcie?

Wklęsłość $f(x) = \ln x$ na $(0, \infty)$.

Wklęsłość $f(x) = \sin x$ na $[0, 2\pi]$. Identyfikuj punkty przegięcia.

Wklęsłość $f(x) = \cos x$ na $[0, 2\pi]$. Punkty przegięcia.

Wklęsłość $f(x) = 1/x$ na przedziałach $(0,\infty)$ i $(-\infty,0)$.

Wklęsłość $f(x) = e^{-x^2/2}$ (Gauss). Identyfikuj punkty przegięcia.

Wklęsłość i przegięcie $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Użyj testu $f''$: sklasyfikuj ekstrema $f(x) = x^3 - 12x$.

Ekstrema $f(x) = x^4 - 4x^2$ via test $f''$.

Ekstrema $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Ekstrema $f(x) = x^2 \ln x$ na $(0, \infty)$ via $f''$.

Ekstrema $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ na $[0, 2\pi]$.

Pokaż, że $f(x) = x^4$ ma minimum w $x = 0$ mimo $f''(0) = 0$ (test nierozstrzygnięty).

Pokaż, że $f(x) = x^5$ nie ma ekstremum w $x = 0$ mimo $f'(0) = 0$.

Dla $f(x) = x^2 + 1/x$ na $x > 0$: znajdź minimum i uzasadnij $f''$.

Ekstrema $f(x) = \ln x / x$ na $(0, \infty)$ via $f''$.

Ekstrema $f(x) = x^{1/x}$ na $(0, \infty)$ (weź $\ln f$ przed pochodną).

Koszt $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Znajdź przegięcie i interpretuj jako zmianę zwrotu marginalnego.

Zysk $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Maksymalizuj via $\pi'$ i potwierdź $\pi''$.

Krzywa logistyczna $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Pokaż, że jest przegięcie w $P = K/2$ (połowa nośności).

Energia potencjalna $U(x) = -\cos x$ (wahadło). Znajdź równowagi stabilne i niestabilne używając $U''$.

Sprężyna harmoniczna: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Pokaż, że $x = 0$ jest równowagą stabilną używając $U''$.

Entropia Bernoulli'ego $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Pokaż $H'' < 0$ i że maksimum jest w $p = 1/2$.

Krzywa uczenia $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Określ wklęsłość. Co ona mówi o prędkości uczenia?

W epidemii szczyt nowych przypadków występuje w punkcie przegięcia krzywej skumulowanych przypadków $f(t)$. Uzasadnij geometrycznie i via $f''$.

Użyteczność $U(W) = \ln W$ jest wklęsła. Wyjaśnij, jak nierówność Jensena implikuje awersję do ryzyka dla tego inwestora.

Dlaczego funkcja straty regresji liniowej ma unikatowe globalne minimum? Użyj wypukłości do uzasadnienia.

Jaki jest poprawny warunek, aby $x_0$ był punktem przegięcia $f$?

Udowodnij, że suma dwóch funkcji wypukłych jest wypukła, używając definicji via $f''$.

Pokaż, że $f$ wypukła na $I$ implikuje nierówność punktu środkowego: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Dlaczego $f''(x_0) = 0$ nie jest wystarczające do gwarancji przegięcia? Daj konkretny kontrprzykład.

Pokaż, że $\ln$ jest wklęsła na $(0,\infty)$ i użyj tego do udowodnienia nierówności AM-GM: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ dla $x, y > 0$.

Funkcja Hubera $L(x) = x^2/2$, jeśli $|x| \leq 1$; $|x| - 1/2$ inaczej. Jest wypukła? Gdzie $L''$ jest nieciągła?

Udowodnij test drugiej pochodnej via wielomian Taylora rzędu 2.

Udowodnij nierówność Jensena dla dwóch punktów: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — bezpośrednio z definicji wypukłości.

Udowodnij, że każda funkcja wypukła na otwartym przedziale jest ciągła we wnętrzu.

Udowodnij, że $f$ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy wykres zawsze leży powyżej dowolnej stycznej: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ dla wszystkich $x, y$.