Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$. Oblicz $v(t)$ i $a(t)$.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Kiedy $v = 0$? W każdej chwili, czy obiekt przyspieszania czy hamuje?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (swobodny spadek, $g = 10$ m/s²). Kiedy uderza w ziemię? Prędkość w tej chwili.

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. Prędkość i przyspieszenie w $t = 2$.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. Oblicz $v(t)$ i $a(t)$. Co zmniejszająca się amplituda odsłania?

$s(t) = 10\sin(2t)$. Zidentyfikuj $A$, $\omega$ i okres $T$. Napisz $v(t)$.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. Maksymalna prędkość w $[0, 3]$.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. Oblicz $v(t)$ i oblicz w $t = 1$.

$s(t) = t^2 - 4t$. Dystans przebytej między $t = 0$ i $t = 4$ (uwaga: $v$ zmienia znak).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. Oblicz zmieszanie $j(t) = s'''(t)$.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. Kiedy prędkość wynosi zero? Czy jest odwrócenie kierunku?

$s(t) = \sin(t^2)$. Oblicz $v(t)$ (zasada łańcucha) i oblicz w $t = \sqrt{\pi}$.

Piłka rzucona do góry z $v_0 = 20$ m/s z ziemi. Maksymalna wysokość ($g = 10$ m/s²).

Samochód przy $v_0 = 30$ m/s hamuje równomiernie w $a = -5$ m/s². Dystans zatrzymania (Torricelli).

Samolot wyrusza ze spoczynku i startuje w $v_f = 80$ m/s po pasie $1000$ m. Średnie przyspieszenie i czas biegu.

Kamień spada z $h = 80$ m. Czas spadku i szybkość przy uderzeniu ($g = 10$ m/s²).

Samochód przyspieszać $0 \to 100$ km/h w $10{,}5$ s. Średnie przyspieszenie i dystans przebytej na przyśpieszeniu.

Rzut ukośny: $v_0 = 50$ m/s w $30°$ od poziomego. Zasięg poziomy ($g = 10$ m/s²).

Rakieta: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² do $t = 60$ s (silnik gasi). Prędkość i położenie przy wyłączeniu.

Pociąg hamuje równomiernie, przebytej $200$ m w $20$ s i zatrzymuje się. Jaki był $v_0$?

Piłka rzucona z szczytu wieży $50$ m z $v_0 = 20$ m/s do góry. Czas do uderzenia w ziemię.

Obiekt $m = 1$ kg spada z oporem $b = 0{,}2$ kg/s. Prędkość graniczna ($g = 10$ m/s²).

Masa-sprężyna: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Częstotliwość kątowa $\omega$, okres $T$ i częstotliwość $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. Amplituda, okres, $v(t)$ i maksymalna prędkość.

Wahadło długości $L = 1$ m. Częstotliwość kątowa $\omega = \sqrt{g/L}$ i okres ($g = 10$ m/s²).

Potwierdź że $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ spełnia ODE $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$.

MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. Pokaż że $E$ jest stała różniczkując względem czasu.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscylator tłumiony). Częstotliwość pozorna i zachowanie amplitudy.

Przesunięcie fazowe między $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ i $v(t)$. Potwierdź $90°$.

Pokaż że $a(t)$ i $x(t)$ są przesunięte $180°$ w MHS — tzn., $a = -\omega^2 x$.

Piłka rzucona do góry. Na najwyższym punkcie, przyspieszenie wynosi:

Wyjaśnij dlaczego średnia prędkość ($\Delta s/\Delta t$) $\neq$ średnia prędkości w ogólności. Daj numeryczny przykład.

Wyjaśnij różnicę między prędkością (1D wielkość wektorowa ze znakiem) i szybkością (skalar). Dlaczego $v < 0$ jest możliwe?

Ruch kołowy: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. Pokaż że $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ i $|\vec{a}| = R\omega^2$.

Pocisk rzucony z $v_0$ i kątem $\theta$. Wyprowadź formułę zasięgu $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ i kąt optymalny.

Samochód: 60 km/h przez 1 h, potem 120 km/h przez 1 h. Średnia prędkość po czasie? I po równym przebytym dystansie?

Spadek z oporem kwadratowym: $m\dot{v} = -mg - bv^2$. Prędkość graniczna i rozwiązanie analityczne $v(t)$ (poprzez rozdzielenie zmiennych).

Spirala: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. Oblicz $\vec{v}$, $|\vec{v}|$ i $\vec{a}$.

Wykaż równanie Torricellego $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ z równań MUV, eliminując czas $t$.

Pokaż że w MHS czasowa średnia energii kinetycznej i potencjalnej to równe $E/2$ każda — używając $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$.