Lição 69 — Método de Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Zastosuj 3 iteracje Newtona-Raphsona. Porównaj z $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Zastosuj 3 iteracje, aby oszacować $\sqrt{5}$.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Zastosuj 3 iteracje, aby oszacować $\sqrt[3]{2}$.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Zastosuj 3 iteracje, aby oszacować punkt stały $\cos$.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Zastosuj 3 iteracje, aby oszacować $\ln 2$.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Przybliż pierwiastek do 4 miejsc dziesiętnych.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Pokaż numerycznie, że iteracje zbiegają do $\pi$.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Przybliż pierwiastek rzeczywisty (stała plastyczna $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Przybliż złoty podział $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Przybliż najmniejszy pierwiastek dodatni większy od $\pi$.

Pokaż, że wzór Herona $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ do obliczania $\sqrt{a}$ jest dokładnie Newton-Raphson zastosowany do $f(x) = x^2 - a$.

Uogólnij: jaka jest iteracja Newton'a do obliczania $\sqrt[n]{a}$? Zastosuj dla $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ (2 kroki).

Pokaż, że $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ oblicza $1/a$ poprzez Newton bez żadnej operacji dzielenia. Zastosuj dla $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ (3 kroki).

Minimalizuj $g(x) = x^4 - 4x + 1$ stosując Newton-Raphson do $g'(x) = 0$, z $x_0 = 1{,}5$.

Przepływy pieniężne: $-1000$, $300$, $400$, $500$ (lata 0, 1, 2, 3). IRR $r$ to pierwiastek $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Użyj Newton'a z $r_0 = 0{,}15$.

W Black-Scholes, dana cena rynkowa $V_{\text{mkt}}$ opcji, wyjaśnij jak użyć Newton-Raphsona, aby znaleźć zmienność dorozumianą $\sigma$. Jaka jest rola vegi w iteracji?

W równaniu van der Waalsa $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, dane $P$, $T$ (i stałe gazu), użyj Newton'a, aby znaleźć molowy wolumin $V$. Naszkicuj iterację.

Równanie Keplera: $E - e \sin E = M$. Dla $e = 0{,}3$ (ekscentryczność) i $M = 1$ rad (anomalia średnia), użyj Newton'a z $E_0 = 1$, aby znaleźć anomalię ekscentryczną $E$ (4 iteracje).

Jakie zachowanie Newton-Raphson może wykazywać, gdy początkowe zgadywanie $x_0$ jest daleko od pierwiastka?

Które jest najbardziej niezawodnym kryterium zatrzymania dla Newton-Raphsona?

Pokaż, że Newton-Raphson z $f(x) = x^3 - 2x + 2$ i $x_0 = 0$ cykluje nieskończenie między 0 i 1.

$f(x) = x^2$ (pierwiastek podwójny w $x = 0$), $x_0 = 1$. Pokaż, że Newton-Raphson zbieża tylko liniowo, ze współczynnikiem $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ ma pierwiastek w $x = 0$ ale $f'(0)$ nie istnieje. Co się dzieje z Newton-Raphsonem? Oblicz 4 iteracje od $x_0 = 1$.

Zastosuj metodę sieczną ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) do $f(x) = x^2 - 2$ przez 4 iteracje. Porównaj z Newton'em (ćwiczenie 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ ma 3 pierwiastkami rzeczywistymi. Zastosuj Newton z $x_0 = 2$, potem z $x_0 = -2$, potem z $x_0 = 0{,}5$. Który pierwiastek każdy chyt znajduje?

Newton zmodyfikowany dla pierwiastka wielokrotnego: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Zastosuj do $f(x) = (x-1)^2$, zaznaczając od $x_0 = 3$. Porównaj ze standardową iteracją.

Newton do optymalizacji: pokaż, że zastosowanie Newton'a do $g'(x) = 0$ w celu minimalizacji $g$ jest równoważne standardowemu Newton'owi z $f = g'$. Zastosuj do minimalizacji $g(x) = e^x - 3x$ z $x_0 = 0$.

Dla $f(z) = z^3 - 1$ na płaszczyźnie zespolonej, opisz jakościowo 3 baseny Newton'a. Na linii rzeczywistej, który pierwiastek $x_0 = 2$ i $x_0 = -0{,}5$ osiągają?

Demonstruj zbieżność kwadratową Newton-Raphsona poprzez Taylor'a rzędu 2. Zidentyfikuj stałą $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Demonstruj: jeśli $f$ jest wypukła rosnąca z pierwiastkiem prostym $r$ i $x_0 > r$ z $f(x_0) > 0$, Newton-Raphson zbieży do $r$.

Uogólnij Newton-Raphson do $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Napisz system liniowy rozwiązywany na każdym kroku i zidentyfikuj rolę jakobianu $J$.

Pokaż, że iteracja Herona $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ zbieża się kwadratycznie do $\sqrt{a}$ dla każdego $x_0 > 0$.