v1 · padrão canônico

Lição 72 — Variância e desvio padrão

Dispersão estatística: quanto os dados se afastam da média. Variância populacional e amostral, desvio padrão, fórmula computacional, propriedades de linearidade e independência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · Equiv. H2 Statistics singapurense

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna

Wariancja i odchylenie standardowe — populacja i próba

"Wariancja jest mniej więcej średnią odległością kwadratową każdego punktu danych od średniej. Jednostka związana z wariancją jest w jednostkach kwadratowych. Aby miara rozproszenia miała te same jednostki co dane, pierwiastkujemy wariancję, co daje odchylenie standardowe." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez i in., CC-BY-SA.

"W problemach statystycznych zwykle nie mamy dostępu do całej populacji, dlatego używamy przykładowych danych do estymacji parametrów populacyjnych. W tym celu dzielimy przez stopnie swobody próby $n-1$ zamiast $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky i Dean, CC-BY.

Właściwości algebraiczne

Theorem· Właściwości wariancji

Dla zmiennych losowych $X, Y$ i stałych $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Stała ma wariancję zero: brak rozproszenia.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · Translacja nie wpływa na rozproszenie; skalowanie wchodzi do kwadratu.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ niezależne})

what this means · Dla niezależnych X i Y, wariancje się sumują — analogia z twierdzeniem Pitagorasa w L².

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · Wariancja jest zawsze nieujemna.

Dowód $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : ponieważ $E[aX+b] = a\mu + b$ , mamy $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Reprezentacja geometryczna — diagram rozproszenia

Dwa zbiory z tą samą średnią, ale różnym rozproszeniem. Punkty oddalone od linii przerywanych (średnia) generują dużą wariancję; punkty skupione generują małą wariancję.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Bezpośrednie obliczenie wariancji i odchylenia standardowego (zastosowanie)

Problem: Oblicz populacyjną wariancję $\sigma^2$ i odchylenie standardowe $\sigma$ dla danych $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Strategia: Zastosować definicję w czterech krokach: średnia, odchylenia, kwadraty odchyleń, średnia kwadratów.

Rozwiązanie:

Średnia: $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Odchylenia $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Odchylenia do kwadratu: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Suma $= 32$ .
Wariancja populacyjna: $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Odchylenie standardowe: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Weryfikacja: $\sigma = 2$ ma tę samą jednostkę co dane. Sprawdzamy: przedział $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ zawiera wartości 4, 4, 4, 5, 5, 7 — sześć z ośmiu danych (75%), zgodne z regułą empiryczną (co najmniej 68% dla rozkładu dzwonowego, Czebyszew gwarantuje co najmniej 75% dla dowolnego rozkładu).

Źródło. OpenIntro Statistics §2.1, przykład "Toy data for variance" — licencja CC-BY-SA.

Example— 2· Wariancja próby z korektą Bessela (zastosowanie)

Problem: Ośmiu studentów zdało test ze statystyki. Oceny były: 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Oblicz wariancję próby $s^2$ i odchylenie standardowe próby $s$ .

Strategia: Użyj dzielnika $n-1$ , ponieważ dane to próba z większej populacji. Będę używać wzoru obliczeniowego $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ dla efektywności.

Rozwiązanie:

$n = 8$ . Suma: $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Średnia: $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ punktów.

Weryfikacja: Patrząc na dane, wszystkie wartości są między 68 a 92, amplituda 24. Odchylenie standardowe 8,6 jest rozsądne — odpowiada około 1/3 amplitudy, typowa wartość.

Źródło. OpenStax Statistics §2.7, przykład "Find the Standard Deviation" — licencja CC-BY.

Example— 3· Wariancja dyskretnej zmiennej losowej (pośredni)

Problem: Uczciwą kostka sześcioboką. Niech $X$ będzie wynikiem. Oblicz $\text{Var}(X)$ .

Strategia: Użyj wzoru $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ z dyskretnym rozkładem równomiernym.

Rozwiązanie:

$P(X = k) = 1/6$ dla $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Odchylenie standardowe: $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Weryfikacja: Ogólny wzór dla $X$ równomiernie rozkładanego na $\{1, \ldots, n\}$ to $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Dla $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Zgadza się.

Źródło. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Example 6.1 — licencja GNU FDL.

Example— 4· Właściwość liniowości i współczynnik zmienności (pośredni)

Problem: Maszyna napełnia butelki ze średnią objętością $\mu = 500$ mL i $\sigma = 4$ mL. Firma sprzedaje w pudełkach po 12 butelek. (a) Jakie jest odchylenie standardowe całkowitej objętości pudełka, zakładając niezależne butelki? (b) Jaki jest współczynnik zmienności ( $CV$ ) pojedynczej butelki?

Strategia: Dla (a) użyj właściwości niezależności: $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Dla (b) zastosuj $CV = \sigma/\mu$ .

Rozwiązanie:

(a) Niech $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ gdzie $X_i$ są niezależne i identycznie rozłożone.

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

$CV$ 0,8% jest bardzo niski — maszyna jest spójna.

Weryfikacja: Dla 12 niezależnych butelek odchylenie standardowe rośnie z $\sqrt{12}$ , nie z 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Zgodne z obliczeniami.

Źródło. OpenStax Statistics §2.7, ćwiczenie z właściwości — licencja CC-BY.

Example— 5· Nierówność Czebyszewa — granice prawdopodobieństwa (modelowanie)

Problem: Linia produkcji wytwarzająca części ze średnią masą $\mu = 200$ g i odchyleniem standardowym $\sigma = 5$ g. Bez znajomości dokładnego rozkładu, określ dolną granicę proporcji części o masie między 185 g i 215 g.

Strategia: Czebyszew dostarcza uniwersalną granicę: $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Zidentyfikuj $k$ z podanego zakresu.

Rozwiązanie:

Żądany zakres: $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (ponieważ $\sigma = 5$ ). Zatem $k = 3$ .
Czebyszew: $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Co najmniej 88,9% części jest w tolerancji, niezależnie od rozkładu.

Weryfikacja: Gdyby produkcja była normalna, z $k=3$ mielibyśmy 99,7% — dużo więcej. Czebyszew jest konserwatywny. Wartość 88,9% to najgorsza możliwa granica dla dowolnego rozkładu z $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Źródło. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Chebyshev Inequality — licencja GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 3Modeling 9Proof 4 1

Ex. 72.1Application
Oblicz wariancję populacyjną i odchylenie standardowe dla $\{4, 6, 8\}$ .
Solve online
Ex. 72.2Application
Oblicz wariancję próby $s^2$ i odchylenie standardowe próby $s$ dla $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.3Application
Oblicz odchylenie standardowe populacyjne dla $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.4ApplicationAnswer key
Jaka jest wariancja $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Wyjaśnij geometrycznie.
Solve online
Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Oblicz wariancję populacyjną dla $\{0, 100\}$ .
Solve online
Ex. 72.6Application
Wynagrodzenia (tys. R$): $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Oblicz średnią i odchylenie standardowe próby. Skomentuj efekt wartości skrajnej.
Solve online
Ex. 72.7Application
Użyj wzoru obliczeniowego $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ do obliczenia wariancji $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Solve online
Ex. 72.8Application
Czas oczekiwania (min) w 8 obsługach: $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Oblicz odchylenie standardowe próby.
Solve online
Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Wagi (kg) 6 melonów: $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Oblicz $s^2$ i $s$ .
Solve online
Ex. 72.10Application
$X$ przyjmuje wartości $1, 2, 3$ z prawdopodobieństwami $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ . Oblicz $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 72.11Application
Uczciwa kostka sześciobojna. Oblicz $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Suma dwóch niezależnych uczciwych kostek. Oblicz $\text{Var}(S)$ używając właściwości niezależności.
Solve online
Ex. 72.13Application
Maksymalna temperatura (°C) w 7 dni: $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Oblicz wariancję próby.
Solve online
Ex. 72.14Application
Użyj wzoru obliczeniowego $E[X^2] - (E[X])^2$ do obliczenia wariancji $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Jeśli $\text{Var}(X) = 9$ , oblicz $\text{Var}(2X + 5)$ .
Solve online
Ex. 72.16Application
Jeśli $\sigma_X = 4$ , jakie jest odchylenie standardowe $3X$ ?
Solve online
Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ i $Y$ niezależne. Oblicz $\text{Var}(X+Y)$ i $\text{Var}(X-Y)$ .
Solve online
Ex. 72.18Application
Standaryzuj $X = 80$ jeśli $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Oblicz wynik $z$ .
Solve online
Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (konwersja Celsjusz na Fahrenheit). Jeśli $\sigma_C = 5$ °C, jakie jest $\sigma_F$ ?
Solve online
Ex. 72.20Application
Oblicz współczynnik zmienności $CV = \sigma/\mu$ dla wzrostów ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) i wag ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). Który zbiór jest relatywnie bardziej zmienny?
Solve online
Ex. 72.21Application
Standaryzuj $\{60, 70, 80\}$ używając $\mu = 70, \sigma = 10$ . Jaka jest średnia i odchylenie standardowe wyników $z$ ?
Solve online
Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . Jakie jest $\text{Var}(-X)$ ?
Solve online
Ex. 72.23Answer key
Średnia próby z $n = 25$ niezależnymi obserwacjami z $\sigma = 10$ . Jakie jest odchylenie standardowe średniej?
Solve online
Ex. 72.24Application
Suma 100 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z $\sigma = 1$ . Jakie jest odchylenie standardowe sumy?
Solve online
Ex. 72.25Understanding
Dlaczego wariancja próby używa dzielnika $n-1$ zamiast $n$ ?
Solve online
Ex. 72.26Understanding
Aby porównać rozproszenie między wynagrodzeniami (R$) i wzrostami (cm), woleć $\sigma$ czy $CV$ ? Dlaczego?
Solve online
Ex. 72.27Understanding
Czy wariancja może być ujemna?
Solve online
Ex. 72.28Modeling
Linia produkcji: średnia masa 500 g, $\sigma = 5$ g. Tolerancja $\pm 15$ g. Ile $\sigma$ tolerancja reprezentuje?
Solve online
Ex. 72.29ModelingAnswer key
Dwa fundusze ze oczekiwanym zwrotem 8%, ale $\sigma_A = 5\%$ i $\sigma_B = 15\%$ . Który wybrać jako niechętny ryzyku? Dlaczego?
Solve online
Ex. 72.30Modeling
Mierzysz rezystancję 10 razy: $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Oszacuj odchylenie standardowe średniej.
Solve online
Ex. 72.31Modeling
Czas jazdy dom-praca: $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. Używając nierówności Czebyszewa jako konserwatywnej granicy, ile minut wcześniej wyjść, aby mieć co najmniej 95% szans na przyjazd na czas?
Solve online
Ex. 72.32Modeling
Proces Six Sigma: $\mu = 10{,}00$ mm, tolerancja $9{,}94$ do $10{,}06$ mm. Jakie jest największe $\sigma$ spełniające wymóg Six Sigma?
Solve online
Ex. 72.33ModelingAnswer key
Akcje A: $\sigma_A = 1\%$ ; Akcje B: $\sigma_B = 2\%$ . Portfel 50-50, korelacja zero. Wariancja portfela.
Solve online
Ex. 72.34Modeling
Ten sam portfel co poprzednie ćwiczenie, ale z korelacją $-0{,}5$ między akcjami. Wariancja. Porównaj z przypadkiem korelacji zero.
Solve online
Ex. 72.35Modeling
W uczeniu maszynowym, dlaczego cechy z różnymi skalami powinny być standaryzowane przed treningiem modeli opartych na gradiencie?
Solve online
Ex. 72.36Modeling
Oceny ENEM z Matematyki: $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ punktów. Student zdobył 740. Oblicz wynik $z$ i interpretuj (o ile odchyleń standardowych powyżej średniej jest?).
Solve online
Ex. 72.37Proof
Wykaż, że $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ na podstawie definicji $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
Solve online
Ex. 72.38Proof
Wykaż, że $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ dla dowolnych stałych $a, b$ .
Solve online
Ex. 72.39ProofAnswer key
Wykaż, że $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ , gdy $X$ i $Y$ są niezależne.
Solve online
Ex. 72.40Proof
Wykaż nierówność Czebyszewa: $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ dla $k > 0$ .
Solve online

Źródła

OpenIntro Statistics (4. wyd.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Główne źródło tej lekcji. §2.1–§2.2 obejmują wariancję próby, odchylenie standardowe, wykres pudełkowy i przykłady stosowane.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 obejmuje miary rozproszenia, wzór obliczeniowy, ćwiczenia z kalkulatorem i dane edukacyjne/zdrowotne.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell (Dartmouth) — GNU FDL. Ch. 6 obejmuje wariancję dyskretnych zmiennych losowych, właściwości algebraiczne, Czebyszew i związek z prawem wielkich liczb.