v1 · padrão canônico

Lição 73 — Quartis, percentis e boxplot

Resumo de 5 números: mín, Q1, mediana, Q3, máx. IQR, boxplot e regra 1,5 IQR para detectar outliers. Medidas robustas em dados assimétricos.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math Statistics — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

IQR = Q_3 - Q_1, \quad \text{outlier se } x < Q_1 - 1{,}5\,IQR \text{ lub } x > Q_3 + 1{,}5\,IQR

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna

Statystyki porządkowe i percentyle

"Pierwszy kwartyl, $Q_1$ , to wartość taka, że 25% danych znajduje się poniżej niej, a trzeci kwartyl, $Q_3$ , to taka, że 75% danych znajduje się poniżej niej." — OpenIntro Statistics §2.1

Definition· Rozstęp międzykwartylowy i reguła Tukey'a

$IQR = Q_3 - Q_1$

Wąsy (whiskers) boxplotu rozciągają się do ostatniej obserwacji w przedziale:

$[Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR,\quad Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR]$

Punkty poza tym przedziałem są flagowane jako potencjalne wartości odstające (zaznaczane osobno).

"Gdy zbiór danych zawiera wartości, które wydają się znacznie większe lub mniejsze niż reszta danych, są one zwane wartościami odstającymi... Powszechnie stosowana reguła mówi, że punkt danych uważa się za podejrzaną wartość odstającą, jeśli jest o więcej niż 1,5 × IQR poniżej pierwszego kwartyla lub o więcej niż 1,5 × IQR powyżej trzeciego kwartyla." — OpenStax Statistics §2.4

Anatomia boxplotu: pudełko (Q1 do Q3), linia mediany, wąsy do skrajnego obserwacji, punkty dla wartości odstających.

Przykłady rozwiązane

Example— 73.1· Streszczenie pięcioliczbowe (mały zbiór)

Problem. Oblicz streszczenie pięcioliczbowe dla danych: 4, 7, 2, 9, 5, 11, 3, 8, 6, 10.

Strategia. Sortuj, zlokalizuj pozycje Q1, Q2, Q3 przez interpolację.

Rozwiązanie. Posortowane: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ( $n = 10$ ).

Mediana ( $Q_2$ ): średnia wartości na pozycjach 5 i 6 = $(6 + 7)/2 = 6{,}5$ .
$Q_1$ : mediana 5 mniejszych (2, 3, 4, 5, 6) = 4.
$Q_3$ : mediana 5 większych (7, 8, 9, 10, 11) = 9.
$\min = 2$ , $\max = 11$ .

Streszczenie pięcioliczbowe: $(2,\; 4,\; 6{,}5,\; 9,\; 11)$ .

Weryfikacja. $IQR = 9 - 4 = 5$ . Limity: $4 - 7{,}5 = -3{,}5$ i $9 + 7{,}5 = 16{,}5$ . Wszystkie dane wewnątrz — żadnych wartości odstających. Spójne z danymi równomiernie rozłożonymi na $[2, 11]$ .

Źródło. OpenIntro Statistics §2.1 — CC-BY-SA.

Example— 73.2· Detekcja wartości odstającej (pensje)

Problem. Pensje miesięczne 9 pracowników (tys.): 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 45. Czy jest wartość odstająca?

Strategia. Oblicz kwartyle i zastosuj regułę 1,5 IQR.

Rozwiązanie. $n = 9$ , dane już posortowane.

$Q_2$ : pozycja 5 = 5.
$Q_1$ : mediana (3, 3, 4, 4) = 3,5.
$Q_3$ : mediana (5, 6, 7, 45) = 6,5.
$IQR = 6{,}5 - 3{,}5 = 3$ .
Górny limit: $6{,}5 + 1{,}5 \times 3 = 11$ .
Pensja 45 tys. > 11 tys.: wartość odstająca.

Weryfikacja. Średnia byłaby 9,1 tys. — podciągnięta przez wartość odstającą. Mediana = 5 tys. reprezentuje lepiej typową pensję. To dokładnie powód, dla którego GUS podaje medianę dochodów.

Źródło. OpenStax Statistics §2.4 — CC-BY.

Example— 73.3· Obliczenie percentyla przez interpolację

Problem. Oceny 20 uczniów (posortowane): 28, 35, 42, 48, 51, 55, 58, 61, 63, 65, 68, 70, 72, 74, 77, 80, 83, 87, 91, 96. Oblicz $P_{80}$ .

Strategia. Użyj wzoru pozycji $L = 1 + (p/100)(n-1)$ .

Rozwiązanie. $p = 80$ , $n = 20$ .

$L = 1 + 0{,}80 \times 19 = 1 + 15{,}2 = 16{,}2$

$j = 16$ , $d = 0{,}2$ . Dane na pozycjach 16 i 17 to $x_{(16)} = 80$ i $x_{(17)} = 83$ .

$P_{80} = 80 + 0{,}2 \times (83 - 80) = 80 + 0{,}6 = 80{,}6$

Weryfikacja. 80% z 20 uczniów = 16 uczniów poniżej. Pierwsze 16 to: 28, 35, ..., 80. Punkt $P_{80} = 80{,}6$ jest tuż powyżej 80, poprawnie.

Źródło. OpenStax Statistics §2.3 — CC-BY.

Example— 73.4· Boxplot porównawczy (A/B)

Problem. Czasy ładowania (ms) dwóch serwerów:

Serwer A: 120, 125, 128, 130, 132, 135, 138, 140, 142, 500.
Serwer B: 200, 210, 215, 220, 222, 225, 228, 230, 235, 240.

Porównaj używając streszczenia pięcioliczbowego i zidentyfikuj wartości odstające.

Strategia. Oblicz kwartyle każdego serwera, zastosuj regułę 1,5 IQR, interpretuj porównawczo.

Rozwiązanie.

Serwer A ( $n = 10$ ):

$Q_1$ : średnia pozycji 2–3 = $(125 + 128)/2 = 126{,}5$ .
$Q_2$ : średnia pozycji 5–6 = $(132 + 135)/2 = 133{,}5$ .
$Q_3$ : średnia pozycji 8–9 = $(140 + 142)/2 = 141$ .
$IQR_A = 141 - 126{,}5 = 14{,}5$ . Górny limit: $141 + 21{,}75 = 162{,}75$ .
500 ms to wartość odstająca w A.

Serwer B ( $n = 10$ ):

$Q_1 = 212{,}5$ , $Q_2 = 223{,}5$ , $Q_3 = 231{,}5$ .
$IQR_B = 19$ . Limity: $[184{,}0;\; 260{,}0]$ . Żadnych wartości odstających.

Weryfikacja. Serwer A ma niższą medianę (133,5 vs. 223,5 ms) i mniejszą zmienność ( $IQR = 14{,}5$ vs. 19), ale ma poważną wartość odstającą (500 ms). Serwer A jest lepszy, jeśli wartości odstające są rzadkie i akceptowalne; Serwer B, jeśli spójność jest krytyczna.

Źródło. OpenIntro Statistics §2.2 — CC-BY-SA.

Example— 73.5· IQR rozkładu ciągłego

Problem. Dla $X \sim \text{Exponential}(\lambda = 1)$ , oblicz $Q_1$ , $Q_3$ i $IQR$ analitycznie.

Strategia. Odwróć CDF w punktach 0,25 i 0,75.

Rozwiązanie. $F(x) = 1 - e^{-x}$ dla $x \geq 0$ .

$Q_1 = F^{-1}(0{,}25): \quad 1 - e^{-Q_1} = 0{,}25 \implies Q_1 = -\ln(0{,}75) \approx 0{,}288$

$Q_3 = F^{-1}(0{,}75): \quad 1 - e^{-Q_3} = 0{,}75 \implies Q_3 = -\ln(0{,}25) = \ln 4 \approx 1{,}386$

$IQR = \ln 4 - \ln(4/3) = \ln 3 \approx 1{,}099$

Weryfikacja. Mediana to $-\ln(0{,}5) = \ln 2 \approx 0{,}693$ . Zauważ, że $Q_2 - Q_1 \approx 0{,}405$ i $Q_3 - Q_2 \approx 0{,}693$ : rozkład skośny w prawo, potwierdza, że górny ogon jest dłuższy.

Źródło. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.1 — GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 10Challenge 2Proof 3

Ex. 73.1ApplicationAnswer key
Dane: 1, 3, 5, 7, 9. Oblicz medianę, $Q_1$ i $Q_3$ .
Solve online
Ex. 73.2Application
Dane: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Oblicz streszczenie pięcioliczbowe.
Solve online
Ex. 73.3ApplicationAnswer key
Oceny: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Oblicz $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ .
Solve online
Ex. 73.4Application
Oblicz $IQR$ danych: 12, 14, 18, 22, 25, 28, 32.
Solve online
Ex. 73.5ApplicationAnswer key
Wiek: 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60. Zastosuj regułę 1,5 IQR. Czy jest wartość odstająca?
Solve online
Ex. 73.6Application
Pensje (tys.): 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50. Oblicz medianę i $IQR$ .
Solve online
Ex. 73.7ApplicationAnswer key
Dla $n = 100$ danych posortowanych, jaka jest pozycja $Q_3$ metodą interpolacji liniowej?
Solve online
Ex. 73.8Application
Czasy (s): 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100. Oblicz limity Tukey'a i zidentyfikuj wartość(i) odstającą.
Solve online
Ex. 73.9Application
Masy (kg): 60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80. Opisz wszystkie elementy boxplotu.
Solve online
Ex. 73.10Application
Dla $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , $Q_3 - Q_1 = ?$
Solve online
Ex. 73.11Application
Dane z $IQR = 6{,}7$ . Używając odpornego estymatora $\hat\sigma = IQR/1{,}349$ , oblicz $\hat\sigma$ .
Solve online
Ex. 73.12Application
Ile punktów powyżej $Q_3 + 3 \cdot IQR$ oczekiwalibyśmy w próbce 1000 obserwacji normalnych?
Solve online
Ex. 73.13Application
Boxplot A: wąskie pudełko, mediana wyśrodkowana. Boxplot B: szerokie pudełko, mediana blisko $Q_1$ . Porównaj rozproszenie i skośność dwóch zbiorów.
Solve online
Ex. 73.14Application
Rozkład z długim ogonem w prawo. Średnia jest w jakiej pozycji względem mediany?
Solve online
Ex. 73.15Application
Zbiór A ma $IQR = 5$ , zbiór B ma $IQR = 20$ . W którym jest więcej rozproszenia w danych centralnych?
Solve online
Ex. 73.16Application
Mediana $A = B = 50$ . $Q_3$ A to 55, B to 80. Który z dwóch ma rozkład bardziej skośny w prawo?
Solve online
Ex. 73.17Application
$P_{90}$ pensji firmy = 30 tys. Interpretuj tę informację.
Solve online
Ex. 73.18Application
Uczeń jest na $P_{85}$ matury. Co to oznacza?
Solve online
Ex. 73.19Application
Jeśli $Q_1 = Q_2 = Q_3$ , co można zaključyć o danych?
Solve online
Ex. 73.20Understanding
Stwierdzenie "reguła 1,5 IQR flaguje 5% danych jako wartości odstające" jest poprawne dla danych normalnych?
Solve online
Ex. 73.21ApplicationAnswer key
Wiek (lata): 40, 52, 55, 58, 62, 66, 72. Oblicz streszczenie pięcioliczbowe i sprawdź czy są wartości odstające.
Solve online
Ex. 73.22ApplicationAnswer key
Oceny 10 uczniów: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10. Pełny boxplot (z weryfikacją wartości odstających).
Solve online
Ex. 73.23Modeling
Klasa 100 uczniów: $Q_1 = 5$ , $Q_3 = 8$ . Uczeń zdobył 9,5 — czy jest w top 25%?
Solve online
Ex. 73.24Modeling
Dlaczego GUS publikuje medianę dochodów, a nie tylko średnią, w raportach o nierówności w Polsce?
Solve online
Ex. 73.25Modeling
Części produkowane z średnicą: $Q_1 = 9{,}98$ mm, $Q_3 = 10{,}02$ mm. Specyfikacja: $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Czy proces jest wyśrodkowany? Czy grozi znaczące odrzucenie?
Solve online
Ex. 73.26Modeling
Test A/B strony: wariant A ma medianę 1,2 s i $IQR = 0{,}3$ ; wariant B ma medianę 1,1 s i $IQR = 1{,}5$ . Który byś wybrał do uruchomienia w produkcji? Uzasadnij za pomocą statystyk rozproszenia.
Solve online
Ex. 73.27ModelingAnswer key
Wykrywasz wartość odstającą w transakcjach finansowych, która wygląda na oszustwo. Czy powinieneś ją usunąć przed analizą danych? Uzasadnij argumentami statystycznymi.
Solve online
Ex. 73.28Modeling
Czasy odpowiedzi (ms): 120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380. Oblicz streszczenie pięcioliczbowe i oceń czy system spełnia SLA 200 ms w oparciu o kwartyle.
Solve online
Ex. 73.29Modeling
Szpital z 4 oddziałami. Czasy hospitalizacji (dni): Oddział A: 5, 8, 9, 10, 12; B: 3, 4, 4, 5, 20; C: 7, 8, 8, 9, 10; D: 2, 3, 15, 18, 25. Zbuduj streszczenia pięcioliczbowe i zidentyfikuj który oddział jest bardziej przewidywalny w zarządzaniu łóżkami.
Solve online
Ex. 73.30Modeling
Oceny matury na szkołę. Szkoła A: mediana 650, $IQR = 80$ . Szkoła B: mediana 620, $IQR = 200$ . Która szkoła ma bardziej jednolite wyniki? Co każdy wzorzec sugeruje dla polityki pedagogicznej?
Solve online
Ex. 73.31Modeling
Średnie opady miesięczne w Warszawie (mm): 234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201. Oblicz streszczenie pięcioliczbowe i interpretuj sezonowość.
Solve online
Ex. 73.32Modeling
Ceny nieruchomości w dzielnicy (tys.): 250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800. Oblicz medianę i średnią. Dlaczego kupujący powinien używać mediany jako odniesienia ceny typowej?
Solve online
Ex. 73.33Understanding
Wyjaśnij, na swoimi słowami, dlaczego mediana i IQR są "odporne" podczas gdy średnia i odchylenie standardowe nie są. Użyj konkretnego przykładu.
Solve online
Ex. 73.34UnderstandingAnswer key
Czy boxplot może ukryć rozkład bimodalny? Zbuduj konkretny przykład rozkładu bimodalnego, który ma ten sam boxplot co rozkład unimodalny.
Solve online
Ex. 73.35UnderstandingAnswer key
Dla $X \sim \text{Uniform}(0, 1)$ , $IQR$ wynosi:
Solve online
Ex. 73.36Challenge
Oblicz analitycznie $IQR$ zmiennej $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$ . Wyraź w funkcji $\lambda$ .
Solve online
Ex. 73.37Challenge
Argumentuj dlaczego punkt przegięcia $IQR$ wynosi 25%, mediany 50%, a średniej 0%.
Solve online
Ex. 73.38ProofAnswer key
Udowodnij: jeśli $X$ jest zmienną losową ciągłą z gęstością symetryczną wokół $\mu$ , wtedy $\mu$ jest medianą $X$ .
Solve online
Ex. 73.39Proof
Pokaż że dla $n \to \infty$ i próbek iid z Uniform(0,1), estymator próbkowy $Q_1$ zbiega do 0,25. Użyj właściwości statystyk porządkowych.
Solve online
Ex. 73.40Proof
Udowodnij że mediana minimalizuje $E[|X - c|]$ dla wszystkich wartości $c \in \mathbb{R}$ .
Solve online

Źródła

OpenIntro Statistics (4. wyd) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Źródło primarne — §2.1 (kwartyle, percentyle) i §2.2 (boxplot, wartości odstające).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §2.3 (percentyle przez interpolację) i §2.4 (boxplot i reguła 1,5 IQR).
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.1 — kwartyle rozkładów ciągłych, statystyki porządkowe.