Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Oblicz $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Oblicz $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Oblicz $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Oblicz $P(X \geq 1)$ przez uzupełnienie.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Zbuduj pełną tabelę funkcji rozkładu dla $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Oblicz $E[X]$ i $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Oblicz $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Rzuć 10 monetami. Oblicz $P(\text{dokładnie 5 orłów})$.

Rzuć 10 monetami. Oblicz $P(\text{co najmniej 8 orłów})$.

Rzuć kostką 6 razy. Oblicz $P(\text{dokładnie 2 szóstki})$.

Rzuć kostką 6 razy. Oblicz $P(\text{żadna szóstka})$.

Dla $X \sim \text{Bin}(n, p)$, oblicz $P(X = 0) + P(X = n)$ jako funkcję $n$ i $p$.

Dla $X \sim \text{Bin}(n, p)$, wyprowadź stosunek $P(X = k)/P(X = k-1)$ jako funkcję $n$, $p$ i $k$.

Pokaż że moda $\text{Bin}(n, p)$ to $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Oblicz modę $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Przybliż $P(X \leq 25)$ przez rozkład normalny (użyj korekty ciągłości).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Użyj przybliżenia Poissona dla $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Przybliż $P(X \geq 30)$ przez rozkład normalny z korekcją ciągłości.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ i $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ niezależne. Jaki jest rozkład $X_1 + X_2$?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Użyj przybliżenia Poissona dla $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ i $P(X = 2)$.

Wybory: $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Przybliż $P(\hat p < 0{,}50)$, szansę że badanie błędnie wskaże przegranych.

Dla $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, od którego $n$ przybliżenie normalne jest uważane za dobre? Uzasadnij.

Pokaż że wariancja $\text{Bin}(n, p)$ jest maksymalizowana w $p = 0{,}5$ dla ustalonego $n$.

Filtr spamu z czułością 90%. W 500 rzeczywistych maili spam, $P(\text{oznacz} \geq 470)$.

Dlaczego wzór $\text{Var}(X) = np(1-p)$ może być wyprowadzony rozkładem na zmienne losowe Bernoulli'ego?

Linia produkcyjna: 3% wadliwych. Partia 50 części. Oblicz $P(\text{co najmniej 3 wadliwe})$.

Szczepionka: skuteczność 85%. W 100 szczepionych, $P(\geq 90 \text{ chronionych})$. Użyj przybliżenia normalnego.

Test A/B: wariant A, 100 odwiedzających, 14 zakupiło. Wariant B, 100 odwiedzających, 22 zakupiło. Oblicz p-wartość z-testu dla różnicy proporcji.

Badanie wyborcze: $n = 1500$, pożądany margines błędu $\pm 2{,}5\%$ na poziomie 95%. Czy wielkość jest wystarczająca?

Genetyka: krzyżowanie $Aa \times Aa$, każde potomstwo ma prawd. $1/4$ bycia $AA$. W 8 potomkach, $P(\text{dokładnie 2 to } AA)$.

Call center: 5% połączeń zawiedzie. W 200 połączeniach, oblicz wartość oczekiwaną i $\sigma$ błędów.

Six Sigma (z regulacją 1,5σ): średnia 3,4 wady na milion. W 1 miliona części, użyj przybliżenia Poissona dla $P(0 \text{ wad})$ i $E[\text{wady}]$.

Zakład: 30% szansy wygrać 100 zł. Każda gra kosztuje 25 zł. W 20 grach, jaki oczekiwany całkowity zysk?

Stopa konwersji leadów: 1%. Aby średnio zamknąć 5 transakcji miesięcznie, ile leadów musisz wygenerować?

Egzamin: 60% kandydatów osiąga minimalny wynik w eseju. W grupie 20 uczniów, oblicz $E[X]$, $\sigma$ i $P(X \geq 15)$.

Urna z 30% czerwonych kulek. 50 losowań ze zwracaniem. Dlaczego rozkład dwumianowy się stosuje? Oblicz $E[X]$ i $P(X = 15)$.

Konkurs publiczny: 8% stopa zaliczenia. Grupa 30 uczniów. $E[\text{zaliczeni}]$ i $P(\text{co najmniej 1 zaliczony})$.

Dlaczego rozkład dwumianowy nie stosuje się do losowania bez zwracania? Podaj kontrprzykład numeryczny gdzie użycie rozkładu dwumianowego dałoby błędny wynik.

Jaka jest fundamentalna różnica między rozkładem dwumianowym a hipergeometrycznym?

Udowodnij $E[X] = np$ i $\text{Var}(X) = np(1-p)$ przez rozkład $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ na zmienne losowe Bernoulli'ego.

Udowodnij granicę Poissona: $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ gdy $n \to \infty$ z $\lambda$ stałym.

Udowodnij że $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ używając Twierdzenia Dwumianowego.

Udowodnij addytywność: jeśli $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ i $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ niezależne (ten sam $p$), wtedy $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.