Lição 76 — Distribuição normal

$X \sim \mathcal N(70, 10^2)$. Oblicz z-score dla $X = 85$.

$X \sim \mathcal N(100, 15^2)$. Oblicz z-score dla $X = 80$.

Oblicz $P(Z \leq 1{,}96)$.

Oblicz $P(Z \geq 1{,}96)$.

Oblicz $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)$.

Oblicz $P(Z \leq -1{,}5)$.

Oblicz $P(0 \leq Z \leq 2)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Oblicz $P(X > 65)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Oblicz $P(40 < X < 60)$.

$X \sim \mathcal N(0, 4)$ (wariancja = 4). Oblicz $P(X > 3)$.

Oblicz kwantyl 90% dla $\mathcal N(100, 15^2)$.

Oblicz $Q_1$ (kwantyl 25%) dla $\mathcal N(100, 15^2)$.

IQ $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Jaki % populacji ma IQ między 85 a 115?

IQ $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Jaki % ma IQ powyżej 130?

IQ $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Jaki % ma IQ powyżej 145?

Wzrost $\sim \mathcal N(170, 8^2)$ cm. Jaki % ma wzrost powyżej 186 cm?

Oceny $\sim \mathcal N(70, 10^2)$. Od której oceny zaczyna się top 5%?

$X \sim \mathcal N(0, 1)$. Oblicz $P(|X| > 3)$.

Dla $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$, jaki jest związek między medianą, modą a $\mu$?

$X \sim \mathcal N(20, 4^2)$ i $Y \sim \mathcal N(10, 3^2)$ niezależne. Jaki jest rozkład $X + Y$?

Pensja miesięczna $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ reali. Jaka jest pensja minimalnego wynagrodzenia top 10%?

Czas lotu $\sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. Ile czasu zarezerwować, aby mieć 99% pewność przybycia na czas?

Dzienny zwrot akcji $\sim \mathcal N(0{,}001,\; 0{,}01^2)$. Oblicz $P(\text{strata} > 2\%)$.

Napięcie $\sim \mathcal N(220, 5^2)$. Urządzenie zawodzi jeśli $V > 235$ V. Oblicz prawdopodobieństwo awarii.

Części ze średnicą $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerancja $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Jaki ułamek zostanie odrzucony?

Ankieta z 1000 respondentami szacuje rzeczywisty odsetek $p = 0{,}50$. Skonstruuj 95% PU dla $p$.

$\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$ (znane). Skonstruuj 95% PU dla $\mu$.

Test $H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu \neq 100$. $\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$. Oblicz p-wartość i podejmij decyzję.

Czas wykonania $\sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. Aby zagwarantować SLA z 95% żądań poniżej limitu, jaki próg zdefiniować?

Six Sigma: specyfikacja $\mu \pm 6\sigma$. Z dostosowaniem 1,5σ na drift procesu, oblicz defekty na milion. Dlaczego wynik to 3,4 ppm a nie praktycznie zero?

Wykres X-bar z $n = 5$, $\sigma = 2$ (znane), $\bar{\bar{X}} = 100$. Oblicz UCL i LCL na $\pm 3\sigma$.

Wyniki modelu ML $\sim \mathcal N(0{,}80,\; 0{,}05^2)$. Jaki to próg dla wybrania top 20% modeli?

Rezystor 100Ω z tolerancją $\pm 5\%$. Zakładając $\sigma = 5/3$ ohm (3$\sigma$ = tolerancja), oblicz ułamek w granicach specyfikacji.

Roczny zwrot portfela $\sim \mathcal N(5\%, 20\%^2)$. Oblicz prawdopodobieństwo ujemnego zwrotu w ciągu roku.

Wyniki ENEM (Matematyka) $\sim \mathcal N(520, 110^2)$. Oblicz $P(\text{wynik} > 700)$.

IPCA roczny modelowany jako $\mathcal N(4{,}5\%,\; 1{,}5\%^2)$. Cel inflacji: do 6,5%. Jakie jest prawdopodobieństwo przekroczenia celu?

Dlaczego standaryzujemy do rozkładu normalnego standardowego? Co uzasadnia istnienie jednej tablicy $\Phi(z)$?

Ogon rozkładu normalnego jest "cienki" czy "ciężki"? Dlaczego to ma znaczenie w modelowaniu ryzyka finansowego?

Wykaż, że jeśli $X \sim \mathcal N(0, 1)$, to $Y = X^2$ ma rozkład chi-kwadrat z 1 stopniem swobody.

Wykaż, że jeśli $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ i $Y = aX + b$ (z $a > 0$), to $Y \sim \mathcal N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)$.

Wykaż, że $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ używając sztuczki współrzędnych biegunowych.

Wykaż (szkic), że rozkład normalny maksymalizuje entropię różniczkową spośród wszystkich rozkładów ciągłych ze stałą średnią $\mu$ i stałą wariancją $\sigma^2$.