Lição 91 — Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

Sklasyfikuj $y''' + y'' - y = 0$: określ rząd, czy jest liniowe i czy jest jednorodne.

Sklasyfikuj $y' + xy = 0$: rząd, liniowe/nieliniowe, jednorodne.

Sklasyfikuj $y' + y^2 = x$: rząd i liniowe/nieliniowe.

Sklasyfikuj $y'' + y = \sin x$: rząd, liniowe/nieliniowe, jednorodne.

Sprawdź że $y = e^{2x}$ jest rozwiązaniem $y' = 2y$.

Sprawdź że $y = \sin x$ jest rozwiązaniem $y'' + y = 0$.

Sprawdź że $y = x^2 + 3$ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego $y' = 2x$, $y(0) = 3$.

Sprawdź że $y = e^{-t}\cos t$ jest rozwiązaniem $y'' + 2y' + 2y = 0$.

Pokaż że $y(t) = Ce^{-kt}$ jest rozwiązaniem ogólnym $y' = -ky$.

Spadek swobodny jest modelowany przez $y'' = -g$ (stała przyspieszenie grawitacyjne). Znajdź rozwiązanie ogólne przez podwójne całkowanie.

Jakie jest rozwiązanie ogólne $y'' - y = 0$?

Co warunek początkowy określa w rozwiązaniu równania różniczkowego?

Rozwiąż $y' = 3x^2$, $y(0) = 5$.

Rozwiąż $y' = \sin x$, $y(0) = 1$.

Rozwiąż $y'' = 6x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$.

Rozwiąż $y' = ky$, $y(0) = y_0$. Wyraź w terminach $k$ i $y_0$.

Rozwiąż $y' = 2y$, $y(0) = 5$. Oblicz $y(3)$.

Rozwiąż $y' = -0{,}1\,y$, $y(0) = 100$. Oblicz $y(20)$.

Rozwiąż $y' = e^x$, $y(0) = 0$.

Rozwiąż $y'' = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -3$.

Rozwiąż $y' = 1/x$, $y(1) = 0$ (dziedzina $x > 0$).

Rozwiąż $y'' = -y$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Rozwiąż $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

Kondensator się rozładowuje: $V' = -V/(RC)$. Dla $V_0 = 12$ V i $RC = 1$ s, oblicz $V(2)$.

Kolonia bakterii podwaja się co godzinę. Populacja początkowa: 100. Napisz równanie i oblicz $N(5)$.

Inwestycja R$ 1.000 na 5% rocznie z oprocentowaniem ciągłym. Napisz równanie i oblicz kwotę po 10 latach.

Herbata w temperaturze 90 °C, sala 25 °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Napisz równanie, rozwiąż, i określ w ile minut temperatura osiągnie 50 °C.

Węgiel-14 ($\tau_{1/2} = 5730$ lat). Kopia ma 25% C-14 początkowego. Oblicz jej wiek.

Lek: okres półtrwania 6 h, dawka 200 mg. Napisz równanie i oblicz ile pozostaje po 18 h.

Inwestycja finansowa z oprocentowaniem Selic 14,75% rocznie z kapitalizacją ciągłą. W ile lat kapitał się podwoi?

Epidemia uproszczona: $I' = rI(1 - I/N)$ (równanie logistyczne). Zidentyfikuj równowagi i opisz zachowanie rozwiązania.

Spadek z oporem powietrza: $m\dot{v} = mg - kv$ ($k > 0$). Oblicz prędkość terminalową $v_\infty$ (gdy przyspieszenie ustaje).

Jod-131 ($\tau_{1/2} = 8$ dni). Napisz równanie i oblicz ile zostaje z 100 g po 24 dniach.

Zasób traci 3% wartości rocznie w sposób ciągły. Napisz równanie i wyraź wartość po 5 latach w terminach wartości początkowej $P_0$.

(Medycyna sądowa) Zwłoki znalezione o 22:00 z temperaturą 32 °C. Sala o temperaturze 21 °C, $k = 0{,}374$ h$^{-1}$. Normalna temperatura ciała: 37 °C. Napisz równanie i znajdź $k$ korzystając z danych warunków.

Co Twierdzenie Picard-Lindelöf gwarantuje dla równania $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$?

Dlaczego rozwiązanie ogólne równania rzędu $n$ ma dokładnie $n$ stałych dowolnych? Jak to wiąże się z liczbą potrzebnych warunków początkowych?

Wyjaśnij dlaczego $y' = \sqrt{\lvert y \rvert}$, $y(0) = 0$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Które założenie Picard-Lindelöf jest naruszane?

Pokaż że $y = Ce^{kx}$ jest jedyną rodziną rozwiązań $y' = ky$ (z dokładnością do wyboru $C$). Wskazówka: rozważ $z(x) = y(x)\,e^{-kx}$.

Pokaż że rozwiązaniem $y' = ky$, $y(0) = y_0$ jest $y(t) = y_0 e^{kt}$, korzystając z techniki separacji zmiennych (podgląd Lekcji 92).