Lição 92 — EDOs separáveis

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = 5y$.

Rozwiąż zagadnienie początkowe $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$, $y(0) = 4$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = xy$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 2$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$, $y(1) = 2$.

Rozwiąż $y' = y\sqrt{x}$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$ za pomocą ułamków prostych.

Rozwiąż $y' = (1-y)/x$, $y(1) = 0$.

Zweryfikuj, że $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ rozwiązuje $y' = y(1-y)$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$.

Rozwiąż $y'\sin x = y\cos x$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$, $y(0) = 1$.

Rozwiąż $y'\,e^x = y$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$, $y(1) = e$.

Rozwiąż $y' = \sqrt{1 - y^2}$. Omów dziedzinę i rozwiązania osobliwe.

Rozpad radioaktywny: ${}^{14}$C ma okres półtrwania 5730 lat. Jaki procent pozostaje po 10 000 latach?

Kondensator RC w rozładowaniu: $V(0) = 12$ V, $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu\text{F}$. Znajdź $V(t)$.

Zbiornik 100 L z czystą wodą otrzymuje 5 L/min solanki 10 g/L i odprowadza 5 L/min. Jakie jest stężenie po 30 min?

Kolonia bakterii podwaja się co 3 h. Ile czasu na wzrost 100 razy?

Chłodzenie Newtona: kawa w temperaturze 90°C w pokoju 20°C osiąga 70°C w 5 min. Kiedy osiągnie 30°C?

Upadek z oporem liniowym: $\dot v = g - kv$, $v(0) = 0$. Rozwiąż i określ prędkość końcową $v_\infty$.

Stężenie leku: $\dot C = -0{,}1C$, $C(0) = C_0$. W ile czasu spada do 50% początkowej dawki?

Inwestycja z oprocentowaniem ciągłym 5% rocznie: $\dot S = 0{,}05 S$. W ile czasu podwaja się kapitał?

Pokaż, że $y \equiv 0$ rozwiązuje $y' = y^2$. Czy należy do rodziny ogólnej? Uzasadnij.

Dla $y' = y^{2/3}$, $y(0) = 0$, pokaż, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Dlaczego zawodzi jednoznaczność Picarda?

Dlaczego $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ używa wartości bezwzględnej?

Dla $\dot y = y(1-y)$ zidentyfikuj równowagi i klasyfikuj je jako stabilne lub niestabilne.

Która z poniższych form dla $dy/dx = F(x,y)$ odpowiada równaniu różniczkowemu separowalnemu?

Rozwiąż $y' = (x+y)^2$ za pomocą podstawienia $u = x+y$.

Pokaż, że $\dot y = y^2$, $y(0) = y_0 > 0$ wybucha w skończonym czasie $T = 1/y_0$. Potwierdź kryterium Osgooda.

Równanie Bernoulliego $y' + P(x)y = Q(x)y^n$. Pokaż, że podstawienie $u = y^{1-n}$ przekształca je w liniowe równanie różniczkowe.

Zarysuj dowód twierdzenia Picarda-Lindelöfa dla $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$, gdzie $f$ jest ciągła i Lipschitza w $y$, za pomocą iteracji Picarda.

Dla $\dot y = h(y)$ z $h(y) > 0$ dla wszystkich $y \geq y_0$, pokaż, że rozwiązanie jest globalne wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$ (kryterium Osgooda).

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$ za pomocą ułamków prostych. Zidentyfikuj rozwiązania osobliwe.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$.

Rozwiąż $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$.

Wzrost logistyczny: $\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$, $P(0) = 50$. Kiedy populacja osiąga połowę pojemności nośnej?

Analizuj jakościowo $\dot y = y(2-y)$ bez jawnego rozwiązywania: zidentyfikuj równowagi, stabilność i zachowanie rozwiązań dla różnych warunków początkowych.

Dla $\dot y = y^p$ z $y(0) = y_0 > 0$ określ, dla jakich wartości $p$ następuje blow-up w skończonym czasie. Oblicz $T$ w tym przypadku.