Lição 93 — EDOs lineares de 1ª ordem

Rozwiąż $y' + y = 0$.

Rozwiąż $y' + 2y = 6$, $y(0) = 1$.

Rozwiąż $y' + 3y = e^{-x}$.

Rozwiąż $y' - y = e^{2x}$, $y(0) = 0$.

Rozwiąż $y' + 2xy = x$.

Rozwiąż $y' + \frac{1}{x}\,y = 1$, $y(1) = 0$.

Rozwiąż $x y' + 2y = x^3$.

Rozwiąż $y' - y\sin x = \sin x$.

Rozwiąż $y' + y\cot x = 2\cos x$.

Rozwiąż $y' - 2xy = x$, $y(0) = 1$.

Rozwiąż $y' + 4y = 8$ i wskaż stan ustalony.

Rozwiąż $y' + y = \sin x$.

Rozwiąż $y' - 3y = 6e^{3x}$.

Rozwiąż $y' + \frac{2}{x}\,y = x^2$.

Rozwiąż $y' + y\cos x = \cos x$.

Rozwiąż $(1+x^2)y' + 2xy = 4x$, $y(0) = 0$.

Czy $y = e^{-x}$ rozwiązuje $y' + y = 0$?

Rozwiąż $y' = 2y + 4$.

Znajdź $\mu(x)$ dla $y' + (\sin x)y = \cos x$ i omów, czy rozwiązanie ma formę zamkniętą.

Rozwiąż $y' + 2y = t^2$ (zmienna niezależna $t$).

Obwód RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$, $C = 50\,\mu\text{F}$, $V_s = 12\,\text{V}$ (skok w $t = 0$), $V_C(0) = 0$. Znajdź $V_C(t)$ i $\tau$.

Obwód RL: $L = 0{,}5\,\text{H}$, $R = 10\,\Omega$, $V = 5\,\text{V}$, $i(0) = 0$. Znajdź $i(t)$ i $\tau = L/R$.

Reaktor CSTR: przepływ $Q = 2\,\text{L/min}$, objętość $V = 100\,\text{L}$, stężenie wpływu $c_{in} = 5\,\text{g/L}$, $c(0) = 0$. Znajdź $c(t)$.

Termometr o temperaturze $20\,\text{°C}$ zanurzony w wodzie o temperaturze $80\,\text{°C}$. Stała czasowa $\tau = 30\,\text{s}$. Kiedy wskazuje $70\,\text{°C}$?

Rachunek czekowy: saldo początkowe zerowe, przynosi zysk $r = 5\%$ rocznie (ciągłe) i otrzymuje zasilanie ciągłe R$ 12 000/rok. Oblicz saldo po 10 latach.

Grzejnik: $\dot T = -k(T - T_{\text{amb}}) + P/C$, gdzie $k = 0{,}1\,\text{min}^{-1}$, $T_{\text{amb}} = 20\,\text{°C}$, $P/C = 5\,\text{°C/min}$, $T(0) = 20\,\text{°C}$. Oblicz $T_\infty$ i czas do osiągnięcia 90% $T_\infty$.

Filtr RC dolnoprzepustowy ze wejściem $u(t) = \sin(\omega t)$. Oblicz amplitudę odpowiedzi stacjonarnej dla $\omega\tau = 0{,}1$, $\omega\tau = 1$ i $\omega\tau = 10$.

Zbiornik 200 L zawiera 50 g soli. Wpływa roztwór 2 g/L z prędkością 4 L/min; wypływa mieszanina 4 L/min. Ilość soli po 1 godzinie.

Pokaż, że jeśli $p$ i $q$ są ciągłe na $I$, to zagadnienie początkowe $y' + p\,y = q$, $y(x_0) = y_0$ ma jednoznaczne rozwiązanie.

Czynnik całkujący jest unikalny z dokładnością do stałej multiplikatywnej — czy to wpływa na ostateczne rozwiązanie?

Sformułuj zasadę superpozycji dla $\mathcal{L}y = y' + p\,y$.

Równanie Bernouliego: $y' + y = y^2$. Podstaw $u = 1/y$ aby linearyzować i rozwiąż.

Rozwiąż $y' + y\tan x = \sec x$ poprzez wariację parametru i potwierdź, że wynik zgadza się z wynikiem czynnika całkującego.

Równanie Riccatiego: $y' = y^2 - 2xy + x^2 - 1$. Potwierdź, że $y_1 = x + 1$ jest rozwiązaniem szczególnym i użyj podstawienia $y = x + 1 + 1/v$ aby zredukować do równania liniowego w $v$.

Wykaż rygorystycznie, że $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ przekształca $y' + py = q$ w $(\mu y)' = \mu q$ i dedukuj wzór na rozwiązanie ogólne.

Wykaż, że $y(x) = \int_{x_0}^{x} G(x,s)\,q(s)\,ds$, gdzie $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$, rozwiązuje $y' + py = q$, $y(x_0) = 0$.