v1 · padrão canônico

Lição 95 — EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes

ay'' + by' + cy = 0. Equação característica e três regimes: raízes reais distintas, real dupla, complexas conjugadas.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonês (avançado) · Leistungskurs alemão Klasse 12

ay'' + by' + cy = 0 \;\Longrightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Równanie charakterystyczne — trzy przypadki

Problem ogólny

Ansatz i równanie charakterystyczne

Podstaw $y = e^{\lambda x}$ : $y' = \lambda e^{\lambda x}$ , $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ .

$a\lambda^2 e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \;\Rightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

Ponieważ $e^{\lambda x} \neq 0$ , wszystko redukuje się do równania algebraicznego kwadratowego.

Theorem· Trzy przypadki wyznaczane przez deltę

Niech $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Przypadek 1 — $\Delta > 0$ : pierwiastki rzeczywiste różne $\lambda_1 \neq \lambda_2$ . $y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$

Przypadek 2 — $\Delta = 0$ : pierwiastek podwójny $\lambda = -b/(2a)$ . $y = (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}$

Przypadek 3 — $\Delta < 0$ : pierwiastki zespolone sprzężone $\lambda = \alpha \pm i\beta$ , gdzie $\alpha = -b/(2a)$ , $\beta = \sqrt{4ac-b^2}/(2a)$ . $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$

"If $b^2 - 4ac > 0$ , the characteristic equation has two distinct real roots $r_1, r_2$ , and the general solution of [the ODE] is $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2

Przypadek pierwiastka podwójnego

Diagram jakościowy — zachowanie w zależności od przypadku

Profile jakościowe: przypadek 1 (czysta wykładnicza), przypadek 2 (granica krytyczna), przypadek 3 (oscylacyjna).

Równania niejednorodne

Dla $ay'' + by' + cy = q(x)$ : rozwiązanie ogólne $y = y_h + y_p$ .

$y_h$ : rozwiązanie równania jednorodnego (dwa parametry wolne).

$y_p$ : dowolne rozwiązanie szczególne — otrzymane przez współczynniki do wyznaczenia (gdy $q$ jest kombinacją wielomianu, funkcji wykładniczej, sinusa/cosinusa) lub wariację parametrów (ogólna).

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Przypadek 1 — pierwiastkami rzeczywisty różne

Problem. Rozwiąż $y'' - 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 3$ .

Strategia. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : dwa pierwiastkami rzeczywisty różne.

Rozwiązanie.

Równanie charakterystyczne: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ .

$\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ . Rozwiązanie ogólne: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$ .

$y(0) = C_1 + C_2 = 2$ .

$y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3$ .

System: $C_1 = 3$ , $C_2 = -1$ .

$y = 3e^{2x} - e^{3x}$

Weryfikacja. $y'' - 5y' + 6y = (12-15+6\cdot 3)e^{2x} + (-9+15-6)e^{3x} = 12e^{2x} \cdot 0 + 0 = 0$ . $y(0) = 3 - 1 = 2$ , $y'(0) = 6 - 3 = 3$ . Prawidłowo.

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Przypadek 2 — pierwiastek podwójny

Problem. Rozwiąż $y'' - 4y' + 4y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

Strategia. $\Delta = 16 - 16 = 0$ : pierwiastek podwójny.

Rozwiązanie.

$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ . Pierwiastek podwójny $\lambda = 2$ .

$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y'(0) = C_2 + 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$ .

$y = (1 - 2x)e^{2x}$

Weryfikacja. $y' = -2e^{2x} + 2(1-2x)e^{2x} = (2-4x-2)e^{2x} = -4xe^{2x}$ . $y'' = -4e^{2x} - 8xe^{2x}$ . $y''-4y'+4y = (-4-8x)e^{2x} - 4(-4x)e^{2x} + 4(1-2x)e^{2x} = (-4-8x+16x+4-8x)e^{2x} = 0$ . Prawidłowo.

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Przypadek 3 — pierwiastkami zespolone sprzężone (oscylacja tłumiona)

Problem. Rozwiąż $y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Strategia. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : zespolone. $\alpha = -1$ , $\beta = 2$ .

Rozwiązanie.

$\lambda = (-2 \pm \sqrt{-16})/2 = -1 \pm 2i$ .

$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$ .

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 3/2$ .

$y = e^{-x}\!\left(\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x\right)$

Weryfikacja. Równanie charakterystyczne ma pierwiastkami $-1 \pm 2i$ , oba z częścią rzeczywistą $-1 < 0$ : rozwiązanie zanika wykładniczo. $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1 + 3 = 2$ . Prawidłowo.

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.3 — CC-BY-SA.

Example— 4· Niejednorodna przez współczynniki do wyznaczenia

Problem. Rozwiąż $y'' - y' - 2y = e^{3x}$ .

Strategia. $y = y_h + y_p$ . Dla $q = e^{3x}$ i $3$ nie jest pierwiastkiem charakterystycznym: próba $y_p = Ae^{3x}$ .

Rozwiązanie.

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0$ . $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$ .

Próba: $y_p = Ae^{3x}$ . Podstaw:

$9Ae^{3x} - 3Ae^{3x} - 2Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$ .

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{4}e^{3x}$

Weryfikacja. $y_p'' - y_p' - 2y_p = (9/4 - 3/4 - 2/4)e^{3x} = (9-3-2)/4\,e^{3x} = e^{3x}$ . Prawidłowo.

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· Niejednorodna z rezonancją (reguła modyfikacji)

Problem. Rozwiąż $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ .

Strategia. Spróbuj $y_p = Ae^{2x}$ — ale $\lambda = 2$ jest pierwiastkiem charakterystycznym! Reguła modyfikacji: pomnóż przez $x$ .

Rozwiązanie.

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0$ . $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ .

$\lambda = 2$ jest pierwiastkiem prostym: spróbuj $y_p = Axe^{2x}$ .

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$ , $y_p'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$ .

$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4A + 4Ax)e^{2x} - (3A + 6Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = Ae^{2x}$ .

$A = 1$ . Zatem $y_p = xe^{2x}$ .

$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}$

Weryfikacja. $y_p = xe^{2x}$ : $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4+4x)e^{2x} - 3(1+2x)e^{2x} + 2xe^{2x} = (4+4x-3-6x+2x)e^{2x} = e^{2x}$ . Prawidłowo.

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.2 — CC-BY-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 8Understanding 3Modeling 4Challenge 3Proof 2 10

Ex. 95.1Application
Rozwiąż $y'' - 3y' + 2y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.2Application
Rozwiąż $y'' + 4y' + 4y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.3ApplicationAnswer key
Rozwiąż $y'' + 9y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.4Application
Rozwiąż $y'' + 2y' + 10y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.5Application
Rozwiąż $y'' + 4y' + 3y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .
Solve online
Ex. 95.6Application
Rozwiąż $y'' - 2y' + y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = -1$ .
Solve online
Ex. 95.7
Rozwiąż $y'' + 4y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .
Solve online
Ex. 95.8
Rozwiąż $y'' - y' - 6y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.9
Rozwiąż $y'' + 2y' + 5y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.10ApplicationAnswer key
Rozwiąż $y'' + 6y' + 9y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.11UnderstandingAnswer key
Jaka jest prawidłowa forma rozwiązania ogólnego $y'' - 2y' + 2y = 0$ ?
Solve online
Ex. 95.12Understanding
$y'' + by' + cy = 0$ z $a = 1$ . Dla jakich warunków na $b, c$ rozwiązanie zanika do zera?
Solve online
Ex. 95.13Application
Rozwiąż $y'' - y = e^{2x}$ .
Solve online
Ex. 95.14
Rozwiąż $y'' + 4y = 3\sin x$ .
Solve online
Ex. 95.15Answer key
Rozwiąż $y'' + 2y' = 4x^2$ .
Solve online
Ex. 95.16Answer key
Rozwiąż $y'' + 4y = \sin 2x$ (przypadek rezonancji).
Solve online
Ex. 95.17
Oblicz Wronskian $y_1 = e^x$ i $y_2 = e^{2x}$ i potwierdź, że tworzą fundamentalny zbiór rozwiązań $y'' - 3y' + 2y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.18
Obwód LC: $L\ddot q + q/C = 0$ , $q(0) = Q_0$ , $\dot q(0) = 0$ . Znajdź $q(t)$ i $\omega_0$ .
Solve online
Ex. 95.19Understanding
$\{\cos 3x, \sin 3x\}$ to fundamentalny zbiór rozwiązań $y'' + 9y = 0$ ?
Solve online
Ex. 95.20Modeling
Sprężyna-masa bez tarcia: $m = 2\,\text{kg}$ , $k = 500\,\text{N/m}$ , $y(0) = 0{,}1\,\text{m}$ , $y'(0) = 0$ . Znajdź $\omega_0$ , okres i przemieszczenie $y(t)$ .
Solve online
Ex. 95.21Modeling
Oscylator tłumiony: $y'' + 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ . Klasyfikuj (pod/nad/krytycznie) i rozwiąż.
Solve online
Ex. 95.22ModelingAnswer key
Tłumienie krytyczne: $2y'' + 4y' + 2y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1$ . Rozwiąż i klasyfikuj.
Solve online
Ex. 95.23Modeling
System niedostatecznie tłumiony: $y'' + 4y' + 13y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ . Rozwiąż i zidentyfikuj częstotliwość tłumioną $\omega_d$ .
Solve online
Ex. 95.24
Rozwiąż $y'' + 4y' + 3y = 5e^{-x}$ (konieczna reguła modyfikacji).
Solve online
Ex. 95.25
Rozwiąż $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ (pierwiastek podwójny — próba wspina się do $x^2$ ).
Solve online
Ex. 95.26Challenge
Zastosuj wariację parametrów do $y'' - y = \sec x$ . Czy wynik ma formę zamkniętą?
Solve online
Ex. 95.27Challenge
Równanie Cauchy'ego-Eulera: $x^2 y'' + xy' + y = 0$ . Spróbuj $y = x^m$ i rozwiąż dla $m$ .
Solve online
Ex. 95.28Challenge
Użyj redukcji rzędu z $y_1 = e^{3x}$ aby znaleźć drugie rozwiązanie $y'' - y' - 6y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.29Proof
Wykaż, że gdy $\lambda$ jest pierwiastkami podwójnym $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ , funkcja $y_2 = xe^{\lambda x}$ spełnia $ay'' + by' + cy = 0$ .
Solve online
Ex. 95.30ProofAnswer key
Sformułuj i uzasadnij twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dla $ay'' + by' + cy = q(x)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_1$ .
Solve online

Fontes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.2–2.3 · PL · CC-BY-SA. Źródło pierwsze.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §7.1–7.2 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §5.1–5.2, §5.6–5.7 · EN · otwarte.