v1 · padrão canônico

Lição 98 — Método de Euler (numérico)

Metoda Eulera jawna dla ODE: dyskretyzacja, błąd lokalny O(h²), błąd globalny O(h), implementacja i porównanie z Runge-Kuttą.

Used in: Cálculo Numérico (UFRGS, USP, UNICAMP) · Spécialité Maths Terminale (França) · Mathematics 4 (IIT-JEE Advanced, Índia)

y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,\, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Wyprowadzenie i analiza błędu

Problem wartości początkowej

Dane zagadnienie początkowe:

$y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$

Chcemy aproksymować $y(x)$ dla $x \in [x_0, X]$ bez jawnego rozwiązania.

Dyskretyzacja

Podzielmy przedział na $N$ równych podprzedziałów:

$h = \frac{X - x_0}{N}, \qquad x_n = x_0 + n\,h, \quad n = 0, 1, \ldots, N$

"The simplest numerical method for solving $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ , is Euler's method. We replace $y'$ with the difference quotient $(y_{n+1} - y_n)/h$ and evaluate $f$ at $x_n$ : this gives $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7

Analiza błędu przez szereg Taylora

Porównanie metod

Porównanie metod jednokrokowych dla ODE. RK4 to standard przemysłu dla dokładności; Euler niejawny dla równań sztywnych (stiff).

Przykłady rozwiązane

Example— 98.1· Euler w 4 krokach — ODE wykładniczy

Problem. Użyj metody Eulera z $h = 0{,}1$ aby aproksymować $y(0{,}4)$ dla $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Porównaj z wartością dokładną.

Strategia. Zastosuj rekurencję $y_{n+1} = y_n + h(-y_n) = y_n(1-h)$ cztery razy.

Rozwiązanie.

$n$	$x_n$	$y_n$	$f = -y_n$	$y_{n+1}$
0	0	1,0000	-1,0000	0,9000
1	0,1	0,9000	-0,9000	0,8100
2	0,2	0,8100	-0,8100	0,7290
3	0,3	0,7290	-0,7290	0,6561

$y_4 = 0{,}6561$ . Dokładnie: $e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703$ . Błąd względny: $\approx 2{,}12\%$ .

Weryfikacja. W każdym kroku mnożymy przez $(1-h) = 0{,}9$ , zatem $y_4 = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$ ✓. Błąd rośnie z $h$ — dla $h = 0{,}05$ błąd spadłby do $\approx 1{,}06\%$ .

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA

Example— 98.2· Euler w równaniu nieliniowym

Problem. Oszacuj $y(1)$ dla $y' = y^2$ , $y(0) = 0{,}5$ , używając Eulera z $h = 0{,}25$ .

Strategia. Dokładne rozwiązanie to $y = 1/(2-x)$ (blow-up w $x = 2$ ). Z 4 krokami do $x = 1$ .

Rozwiązanie.

$n=0$ : $f(0, 0{,}5) = 0{,}25$ . $y_1 = 0{,}5 + 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}5625$ .

$n=1$ : $f(0{,}25, 0{,}5625) = 0{,}31641$ . $y_2 = 0{,}5625 + 0{,}25 \times 0{,}31641 = 0{,}6416$ .

$n=2$ : $f(0{,}5, 0{,}6416) = 0{,}4117$ . $y_3 = 0{,}6416 + 0{,}25 \times 0{,}4117 = 0{,}7445$ .

$n=3$ : $f(0{,}75, 0{,}7445) = 0{,}5543$ . $y_4 = 0{,}7445 + 0{,}25 \times 0{,}5543 = 0{,}8831$ .

Dokładnie: $y(1) = 1/(2-1) = 1$ . Błąd: $11{,}7\%$ .

Weryfikacja. Błąd jest duży, ponieważ $f = y^2$ rośnie i styczne niedoestymują krzywą. Zmniejszenie do $h = 0{,}1$ (10 kroków) zmniejszyłoby do $\approx 5{,}8\%$ , potwierdzając rząd 1.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 2, §4.2, Example 4.2 — CC-BY-NC-SA

Example— 98.3· Porównanie Euler versus RK4

Problem. Dla $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ , aproksymuj $y(0{,}2)$ z $h = 0{,}1$ używając (a) Eulera i (b) RK4. Dokładne rozwiązanie: $y = 2e^x - x - 1$ .

Strategia. Zastosuj formuły każdej metody i porównaj błędy.

Rozwiązanie.

Dokładnie: $y(0{,}2) = 2e^{0{,}2} - 0{,}2 - 1 \approx 2 \times 1{,}2214 - 1{,}2 = 1{,}2428$ .

(a) Euler:

$n=0$ : $f(0,1) = 1$ . $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 1 = 1{,}1$ .

$n=1$ : $f(0{,}1, 1{,}1) = 0{,}1 + 1{,}1 = 1{,}2$ . $y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}22$ .

Błąd Eulera: $|1{,}2428 - 1{,}22| = 0{,}0228$ .

(b) RK4 (krok $n=0 \to n=1$ , $h=0{,}1$ ):

$k_1 = 0 + 1 = 1$ ; $k_2 = (0{,}05) + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_3 = 0{,}05 + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_4 = 0{,}1 + (1 + 0{,}1) = 1{,}2$ .

$y_1 = 1 + (0{,}1/6)(1 + 2{,}2 + 2{,}2 + 1{,}2) = 1 + 0{,}1 \times 1{,}1\overline{0}\approx 1{,}1103$ .

Błąd RK4 (dwa kroki): $< 10^{-6}$ — rzędy wielkości lepszy niż Euler.

Weryfikacja. Stosunek błędów dla $h$ zmniejszonego o połowę: Euler 2:1 (1. rząd); RK4 16:1 (4. rząd) ✓.

Źródło. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.3 — CC-BY-SA

Example— 98.4· Euler niejawny — stabilność w równaniu sztywnym

Problem. $y' = -100y$ , $y(0) = 1$ . Porównaj Euler jawny z $h = 0{,}03$ (niestabilny) i $h = 0{,}01$ (stabilny).

Strategia. Analizuj $|1 + h\lambda|$ z $\lambda = -100$ .

Rozwiązanie.

Współczynnik amplifikacji Euler jawny: $r = 1 + h\lambda = 1 - 100h$ .

$h = 0{,}03$ : $r = 1 - 3 = -2$ . $|r| = 2 > 1$ — niestabilny: $y_n = (-2)^n \to \pm\infty$ .
$h = 0{,}01$ : $r = 1 - 1 = 0$ . $|r| = 0 < 1$ — stabilny (na granicy), $y_n = 0$ w 1 kroku (nadtłumienie).
$h = 0{,}02$ : $r = 1 - 2 = -1$ . $|r| = 1$ — oscyluje bez tłumienia.

Region stabilności Eulera: $h < 2/|\lambda| = 0{,}02$ dla tego równania. Dokładne rozwiązanie $e^{-100x}$ zanika w $x \sim 0{,}01$ — kroki znacznie mniejsze niż skala zainteresowania.

Weryfikacja. Euler niejawny: $r_{imp} = 1/(1-h\lambda) = 1/(1+100h)$ . Dla każdego $h > 0$ : $|r_{imp}| < 1$ ✓ — zawsze stabilny.

Źródło. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.4 — CC-BY-SA

Example— 98.5· Euler dla systemu ODE — oscylator

Problem. System $x' = v$ , $v' = -x$ (oscylator harmoniczny), WP: $x(0) = 1$ , $v(0) = 0$ , $h = 0{,}1$ , symuluj 3 kroki.

Strategia. Zastosuj Euler do każdej składowej jednocześnie.

Rozwiązanie.

Stan: $x_n$ , $v_n$ . Funkcje $f_1 = v$ i $f_2 = -x$ .

Krok 0: $x_0 = 1$ , $v_0 = 0$ . Nachylenia: $\dot x = 0$ , $\dot v = -1$ .

$x_1 = 1 + 0.1 \times 0 = 1$ ; $v_1 = 0 + 0.1 \times (-1) = -0.1$ .

Krok 1: $x_1 = 1$ , $v_1 = -0.1$ . Nachylenia: $\dot x = -0.1$ , $\dot v = -1$ .

$x_2 = 1 + 0.1 \times (-0.1) = 0.99$ ; $v_2 = -0.1 + 0.1 \times (-1) = -0.2$ .

Krok 2: $x_2 = 0.99$ , $v_2 = -0.2$ . Nachylenia: $\dot x = -0.2$ , $\dot v = -0.99$ .

$x_3 = 0.99 + 0.1 \times (-0.2) = 0.97$ ; $v_3 = -0.2 + 0.1 \times (-0.99) = -0.299$ .

Dokładnie w $t = 0.3$ : $x = \cos(0.3) \approx 0.9553$ , $v = -\sin(0.3) \approx -0.2955$ . Euler przeszacowuje $x$ — nie zachowuje energii. Euler symplektyczny rozwiązuje: oblicza $v_{n+1}$ najpierw, potem używa go dla $x_{n+1}$ .

Źródło. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA

Exercise list

28 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 13Understanding 3Modeling 5Challenge 1Proof 2 4

Ex. 98.1Application
Użyj Eulera z $h = 0{,}5$ aby aproksymować $y(1)$ dla $y' = y^2$ , $y(0) = 0$ .
Solve online
Ex. 98.2Application
Użyj Eulera z $h = 0{,}1$ aby aproksymować $y(0{,}2)$ dla $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ . Porównaj z dokładną wartością $y = 2e^x - x - 1$ .
Solve online
Ex. 98.3ApplicationAnswer key
Użyj Eulera z $h = 0{,}25$ aby aproksymować $y(1)$ dla $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Dokładnie: $e^{-1}$ .
Solve online
Ex. 98.4Application
Powtórz ćwiczenie 98.3 z $h = 0{,}1$ . Porównaj błędy i zweryfikuj rząd 1 metody.
Solve online
Ex. 98.5Application
Użyj Eulera z $h = 0{,}5$ dla $y' = 2x$ , $y(0) = 0$ i oszacuj $y(2)$ . Porównaj z dokładnym.
Solve online
Ex. 98.6Application
Użyj Eulera z $h = 0{,}2$ dla $y' = y - x^2 + 1$ , $y(0) = 0{,}5$ i oszacuj $y(0{,}4)$ .
Solve online
Ex. 98.7ApplicationAnswer key
Dla $y' = y$ , $y(0) = 1$ , oszacuj błąd lokalny metody Eulera z $h = 0{,}1$ na $[0, 1]$ .
Solve online
Ex. 98.8Application
Określ maksymalny krok $h_{\max}$ dla stabilności Eulera jawnego w $y' = -2y$ .
Solve online
Ex. 98.9Application
Zastosuj Euler niejawny z $h = 0{,}5$ dla $y' = -y$ , $y(0) = 1$ i oszacuj $y(1)$ .
Solve online
Ex. 98.10ApplicationAnswer key
Zastosuj metodę Heuna (RK2) z $h = 0{,}5$ dla $y' = -y$ , $y(0) = 1$ i oszacuj $y(0{,}5)$ .
Solve online
Ex. 98.11Application
Dla $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ : oblicz błędy w $y(0{,}2)$ dla Eulera z $h = 0{,}1$ i $h = 0{,}05$ . Zweryfikuj rząd 1.
Solve online
Ex. 98.12Application
Ile kroków Eulera jest potrzebnych dla $y' = y$ , $y(0) = 1$ , z błędem globalnym mniejszym niż $10^{-4}$ na $[0, 1]$ ?
Solve online
Ex. 98.13ApplicationAnswer key
Symuluj oscylator $x'' + x = 0$ , $x(0) = 1$ , $x'(0) = 0$ Eulerem z $h = 0{,}1$ . Oblicz $(x_1, v_1)$ , $(x_2, v_2)$ , $(x_3, v_3)$ .
Solve online
Ex. 98.14
Zweryfikuj, że metoda Eulera nie zachowuje energii oscylatora $x'' + x = 0$ . Porównaj z Eulerem symplektycznym.
Solve online
Ex. 98.15Modeling
$P' = 0{,}3P(1 - P/1000)$ , $P(0) = 100$ . Użyj Eulera z $h = 1$ aby oszacować $P(12)$ (12 miesięcy). Naszkicuj wykres obliczonych punktów.
Solve online
Ex. 98.16ModelingAnswer key
Obwód RLC: $L = 1$ H, $R = 0{,}5$ Ω, $C = 1$ F, $Q(0) = 1$ , $I(0) = 0$ . Użyj Eulera z $h = 0{,}1$ aby symulować $Q(t)$ przez 3 kroki.
Solve online
Ex. 98.17Modeling
$T' = -0{,}1(T - 20)$ , $T(0) = 90$ °C. Użyj Eulera z $h = 5$ min aby oszacować $T(10)$ .
Solve online
Ex. 98.18Modeling
Węgiel-14 ma półśrodek rozpadu 5730 lat. Użyj Eulera z $h = 500$ lat aby oszacować ułamek pozostały po 5000 latach.
Solve online
Ex. 98.19Understanding
Dlaczego metoda Eulera ma błąd globalny $O(h)$ jeśli każdy krok ma błąd lokalny $O(h^2)$ ?
Solve online
Ex. 98.20Understanding
W jakiej sytuacji metoda Eulera jawna staje się niepraktyczna z powodu numerycznej niestabilności?
Solve online
Ex. 98.21Understanding
Jaka jest główna zaleta RK4 nad metodą Eulera?
Solve online
Ex. 98.22Answer key
Użyj Eulera z $h = \pi/4$ aby aproksymować $y(\pi/2)$ dla $y' = \cos x$ , $y(0) = 0$ . Porównaj z $\sin(\pi/2) = 1$ .
Solve online
Ex. 98.23
Użyj Eulera z $h = 0{,}5$ dla $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ . Oszacuj $y(1)$ i porównaj z dokładnym $(1{,}5)^2 = 2{,}25$ .
Solve online
Ex. 98.24
Dla $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ , porównaj Euler i Heun (RK2) z $h = 0{,}5$ aby oszacować $y(0{,}5)$ . Dokładnie: $y(0{,}5) = (1{,}25)^2 = 1{,}5625$ .
Solve online
Ex. 98.25Modeling
Opisz jak eksperymentalnie zweryfikować rząd metody numerycznej porównując błędy dla $h$ i $h/2$ .
Solve online
Ex. 98.26Proof
Wyprowadź błąd lokalny metody Eulera używając rozwinięcia Taylora $y(x_{n+1})$ wokół $x_n$ .
Solve online
Ex. 98.27Proof
Wyprowadź region stabilności metody Eulera jawnej w płaszczyźnie $h\lambda$ i pokaż, że to dysk $|1 + h\lambda| < 1$ .
Solve online
Ex. 98.28ChallengeAnswer key
Zastosuj RK4 z $h = 0{,}1$ do $y' = y$ , $y(0) = 1$ . Porównaj błąd z błędem Eulera i potwierdź, że RK4 jest 4. rzędu.
Solve online

Źródła

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Wersja 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.7 omawia metodę Eulera z analizą błędu przez szereg Taylora.
UFRGS Reamat. Cálculo Numérico (versão Python). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico — Cap. 8: Euler, Heun, RK4, stabilność i analiza błędu w PT-BR z kodem Python.
OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.2: pola kierunkowe i metoda Eulera z interpretacją geometryczną.