Lição 99 — Lei de Newton do Resfriamento

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 22$ °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Napisz $T(t)$ i oblicz $T(15)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $T(10) = 55$ °C. Wyznacz $k$.

$T_0 = 5$ °C (zimny obiekt), $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}06$ min$^{-1}$. Oblicz $T(20)$.

$T_0 = 90$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Oblicz okres połowiczny różnicy temperatury i temperaturę w tym momencie.

$T_0 = 80$ °C, $T_{\text{amb}} = -10$ °C, $k = 0{,}03$ min$^{-1}$. Oblicz $\tau$ i $T(\tau)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. W jakim czasie $T = 40$ °C?

$k = 0{,}04$ min$^{-1}$. W jakim czasie różnica temperatury spada poniżej 1% wartości początkowej?

Ciało znalezione o 22h: $T = 33$ °C. $T_{\text{amb}} = 18$ °C, $T_{\text{normal}} = 37$ °C, $k = 0{,}06$ h$^{-1}$. Oszacuj czas zgonu.

Pojemnik z płynem: $h = 20$ W/(m²K), $A = 0{,}04$ m², $m = 0{,}3$ kg, $c_p = 4000$ J/(kgK). Oblicz $k$ i stałą czasową $\tau$.

Wyprowadź wzór na $k$ z dwóch pomiarów temperatury $T_1$ (w $t_1$) i $T_2$ (w $t_2$) z znanym $T_{\text{amb}}$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Użyj Eulera z $h = 5$ min aby oszacować $T(15)$ i porównaj z dokładnym.

Różnica temperatury między obiektem a otoczeniem spada z 80 °C na 40 °C w 10 min. W jakim czasie dodatkowo spada z 40 na 20 °C?

Pokaż, że jeśli $T_0 = T_{\text{amb}}$, rozwiązanie jest stałe. Zinterpretuj fizycznie.

Mleko: $T_0 = 72$ °C, $T_{\text{amb}}^{\text{zimne}} = 0$ °C, $k = 0{,}15$ s$^{-1}$. W jakim czasie chłodzi się do 4 °C?

Przypadek forenzyczny. Ciało znalezione o 23h z $T = 30$ °C. $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}07$ h$^{-1}$. Oszacuj czas zgonu. Omów niepewności metody.

Obiekt ze stałym wewnętrznym źródłem ciepła: $T' = -k(T - T_a) + H$, gdzie $H = Q/(mc_p)$. Z $T_a = 22$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$, $H = 5$ °C/min. Jaka jest temperatura równowagi?

Obiekt się ogrzewa: pomiary $T(0) = 20$, $T(30) = 40$, $T(60) = 55$ °C. Oszacuj $T_{\text{amb}}$ i $k$ zakładając, że jeden z trzech pomiarów może być szumny.

Procesor z rozpraszaniem $H = 2$ °C/min, $T_a = 25$ °C. By utrzymać $T \leq 40$ °C, jakie jest minimum k potrzebne w systemie chłodzenia?

Jak zmienia się szybkość chłodzenia $|T'(t)|$ w ciągu czasu dla obiektu z $T_0 > T_{\text{amb}}$?

Jak k zależy od właściwości fizycznych systemu? Co się staje ze stałą czasową $\tau$ gdy k rośnie?

W jakich sytuacjach prawo chłodzenia Newtona przestaje być ważne?

Dwa pomiary: $T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Wyznacz $k$ i oszacuj $T(5)$.

$T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Wyznacz $k$ i oblicz $T(5)$.

Serwer: $P = 2000$ W, $hA = 200$ W/K, $T_a = 24$ °C. Jaka jest temperatura równowagi? Co jest potrzebne by utrzymać poniżej 27 °C?

$T_a(t) = 20 + 8\cos(\pi t/12)$ °C (zmiana dzienna z okresem 24 h). Napisz formalne rozwiązanie $T' = -k(T - T_a(t))$ i omów jak amplituda oscylacji $T$ się porównuje do amplitudy $T_a$.

Pokaż, że PVI $T' = -k(T - T_a)$, $T(0) = T_0$ ma jedyne rozwiązanie dla wszystkich $t \geq 0$.

Sprawdź przez bezpośrednie podstawienie, że $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$ spełnia równanie i warunek początkowy.

Wzajemne chłodzenie. Dwa obiekty wymieniają ciepło: $T_1' = -k_1(T_1-T_2)$, $T_2' = -k_2(T_2-T_1)$. $T_1(0) = 100$ °C, $T_2(0) = 20$ °C. Znajdź temperaturę równowagi i szybkość zbliżania się.

Detal stalowy: $T_0 = 850$ °C, $T_{\text{amb}} = 30$ °C, $k = 0{,}02$ min$^{-1}$. Ile czasu zajmuje schłodzenie do 200 °C?

Porównaj prawo chłodzenia Newtona z rozpadem radioaktywnym. Jakie są matematyczne podobieństwa? Jaka jest różnica w równowadze?