Lição 101 — Amostragem: tipos, vieses e distribuição amostral

Fabryka produkuje śruby ze średnią masą $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma = 50$ g. Pobierana jest próba $n = 100$ śrub. Oblicz błąd standardowy średniej próbkowej.

Ankieta zaczyna się od $n = 25$. Ile razy musisz zwiększyć $n$, aby zmniejszyć błąd standardowy o połowę? Wyjaśnij za pomocą formuły.

Czas oczekiwania w banku ma rozkład normalny z $\mu = 120$ s i $\sigma = 15$ s. Pobierana jest próba $n = 9$ klientów. Jakie jest prawdopodobieństwo $\bar X > 125$ s?

Szpital chce oszacować zadowolenie pacjentów z obsługi. Dyrektor wie, że płeć i grupa wiekowa bardzo wpływają na percepcję. Jaki typ próbkowania jest bardziej odpowiedni? Uzasadnij.

Sklep internetowy wysyła e-mail z prośbą o ocenę po każdym zakupie. Odpowiada tylko 12% klientów. Zidentyfikuj najprawdopodobniejszy typ błędu i wyjaśnij jego wpływ na szacunek.

Ankieta chce oszacować odsetek gospodarstw domowych z dostępem do internetu na obszarach wiejskich, z marginesem błędu 4% z 95% pewnością. Jaka jest minimalna wielkość próby?

Konsultant analizuje średni wzrost 50 startupów założonych 5 lat temu i wciąż aktywnych, wnioskując, że "startupy rosną średnio 120% rocznie". Jaki błąd jest obecny?

Pokaż, że średnia próbkowa $\bar X$ jest (a) nieobciążona, (b) konsystentna i (c) efektywna dla $\mu$, w klasie estymatorów liniowych.

Badanie dotyczące wydatków na transport publiczny zbiera $n = 400$ rejestrów. Historyczne odchylenie standardowe wynosi \sigma = R\,40$. Oblicz błąd standardowy i zinterpretuj jego znaczenie.

IBGE chce oszacować średni dochód brazylijskich przedsiębiorstw. Opisz, jak wyglądałoby proste próbkowanie losowe, stratyfikowane wg sektora i grupowe. Które byłoby bardziej efektywne? Dlaczego?

Dla średniej próbkowej $\bar X$ z ustalonym $n$ i iid populacją, które stwierdzenie jest poprawne?

Dlaczego w wielu praktycznych badaniach średnia próbkowa ma rozkład w przybliżeniu normalny, nawet nie znając dokładnego rozkładu populacji?

Stwierdzenie: "W prostym losowym próbkowaniu każda osoba ma takie samo prawdopodobieństwo bycia wybraną. To jest równoważne z twierdzeniem, że każdy zestaw $n$ osób ma takie samo prawdopodobieństwo bycia próbą." Stwierdzenie jest poprawne?

Historyczna średnia ocena egzaminu wynosi $\mu = 3{,}5$ z $\sigma = 1{,}5$. Dla klasy $n = 36$, jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia klasy będzie poniżej 3,2?

IBGE musi oszacować dostęp do sanitacji w gminach na całym Brazylii, z ograniczonym budżetem. Lista gospodarstw domowych nie jest dostępna, ale lista gmin i ulic tak. Zaproponuj plan próbkowania.

Ankieta z $n = 400$ wyborców wykazała $\hat p = 60\%$ aprobaty dla władz gminnych. Oblicz błąd standardowy i margines błędu z 95% pewnością.

Oblicz minimalne wielkości próby do oszacowania proporcji z marginesem błędu (a) 5% i (b) 2,5%, oba z 95% pewnością. Wyjaśnij relację między wynikami.

Przedsiębiorstwo ma 3000 klientów w kolejności numerów umów. Chce wybrać 300 do ankiety. Opisz procedurę próbkowania systematycznego i omów, kiedy może wprowadzić błąd.

Masa worków ryżu ma $\mu = 70$ kg i $\sigma = 10$ kg. Dla próby $n = 64$, oblicz $P(68 \leq \bar X \leq 72)$.

Uniwersytet przeprowadza badanie zadowolenia ze studiami będącymi w trakcie. Jaki błąd jest najbardziej istotny w tym podejściu?

Bez wcześniejszej wiedzy o $p$, jaka jest minimalna wielkość próby do oszacowania proporcji z marginesem błędu 2% z 95%?

Badacz rozmawia z mieszkańcami miasta od drzwi do drzwi między godz. 9:00 a 17:00 w dni robocze. Chce oszacować średni dochód gospodarstwa domowego. Zidentyfikuj błąd i opisz jego kierunek (niedoszacowanie czy przeszacowanie średniego dochodu?).

Czas konsultacji lekarskiej ma $\sigma = 12$ min. Oblicz błąd standardowy średniej dla $n = 25$ i $n = 100$ oraz porównaj.

Miesięczne zużycie energii elektrycznej w mieście ma $\mu = 500$ kWh i $\sigma = 80$ kWh. Dla $n = 100$ wylosowanych gospodarstw domowych, oblicz $P(\bar X > 510)$.

IBGE używa około 211 tys. gospodarstw domowych w PNAD Kontynualnej. Krajowa stopa bezrobocia wynosi około 12%. (a) Jaki byłby minimalny teoretyczny $n$ do oszacowania bezrobocia z marginesem $\pm 0{,}5\%$ z 95%? (b) Dlaczego IBGE używa znacznie większego $n$?

Bank chce oszacować średnią zaległość w portfelu kredytowym 500 tys. klientów. Zmienność zaległości bardzo zmienia się wg grupy dochodowej. Zaproponuj efektywny plan próbkowania i uzasadnij przydział wywiadów wg straty.

Analityk finansowy porównuje średni historyczny zwrot aktywnych funduszy inwestycyjnych i kończy, że aktywni menedżerowie przewyższają indeks. Dane zawierają tylko fundusze, które wciąż istnieją dzisiaj. Zidentyfikuj błąd i wyjaśnij, jak wpływa na wniosek.

Pokaż algebraicznie, że $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar X)^2$ jest nieobciążona dla $\sigma^2$. Dlaczego dzielnik to $n-1$ zamiast $n$?

Zastosuj nierówność Hoeffdinga dla $X_i \in [0, 1]$: $P(|\bar X - \mu| > t) \leq 2\exp(-2nt^2)$. Dla $t = 0{,}05$, oblicz ograniczenie dla $n = 100$ i $n = 1000$. Zinterpretuj wynik.

Formalnie udowodnij, że średnia próbkowa $\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$ jest (a) nieobciążona i (b) konsystentna dla $\mu$, używając nierówności Czebyszewa do części (b).