Lição 102 — Intervalo de confiança para a média

Wzrost rekrutów wojskowych: $\sigma = 10$ cm, $n = 100$, $\bar X = 165$ cm. Skonstruuj przedział ufności 95% dla średniego wzrostu.

Używając tych samych danych z ćwiczenia 102.1, skonstruuj przedziały ufności 90% i 99% i porównaj trzy poziomy.

Godziny pracy tygodniowo: $n = 25$, $\bar X = 45$ h, $s = 8$ h. Skonstruuj przedział ufności 95% przy użyciu rozkładu t.

Urządzenie pomiarowe ma $\sigma = 15$ jednostek (znany). Jaka jest minimalna $n$ aby oszacować średnią z maksymalnym marginesem błędu 3 jednostek przy 95% ufności?

Czesne uniwersyteckie $n = 12$ prywatnych uczelni w mieście: \bar X = R\,1,500$,$s = R$,200$. Przedział ufności 95%.

Z $\sigma = 10$ i obecnym przedziałem ufności 95% z $n = 16$ (amplituda 9,8), jaka $n$ jest potrzebna aby zmniejszyć amplitudę do 5?

Jeśli podwoisz wielkość próby, jaki jest procentowy efekt na margines błędu? A jeśli chcesz zmniejszyć margines o połowę, przez ile powinieneś pomnożyć $n$?

Czas pracy baterii laptopów: $n = 36$, $\bar X = 200$ min, $s = 30$ min. Przedział ufności 95%.

Waga psów konkretnej rasy: $n = 9$, $\bar X = 15$ kg, $s = 1{,}2$ kg. Przedział ufności 95%.

Stwierdzenie „przedział ufności 95% dla $\mu$ to [45; 55]" oznacza:

Która z poniższych akcji jednocześnie tworzy węższy przedział ufności I wyższą ufność?

Inspektor podatkowy chce oszacować średnią wartość faktur z \sigma = R\,500$, marginesem błędu$R$,100$i 99$n$?

Wydatki na żywność miesięcznie $n = 20$ rodzin: \bar X = R\,500$,$s = R$,50$. Przedział ufności 95% z t Studenta.

Porównaj kwantyle t dla $n = 9$ i $n = 100$ przy 95% ufności. Wyjaśnij, dlaczego przedziały ufności z małymi próbkami są znacznie szersze.

Dzienna konsumpcja wody $n = 8$ apartamentów (w litrach): 5,2 | 4,8 | 5,5 | 4,9 | 5,1 | 5,3 | 4,7 | 5,0. Skonstruuj przedział ufności 95%.

Glikemia: $\sigma = 25$ mg/dL (z poprzednich badań). Jaka $n$ gwarantuje margines błędu 5 mg/dL przy 95%?

Związek zawodowy metalurgów zebrał pensje $n = 25$ pracowników: \bar X = R\,1,800$,$s = R$,200$. Związek twierdzi, że rzeczywista średnia pensja jest poniżej R$ 1.883. Czy przedział ufności 95% wspiera to twierdzenie?

Temperatura ciała $n = 30$ zdrowych dorosłych: $\bar X = 36{,}8$°C, $s = 0{,}5$°C. Przedział ufności 95%. Czy klasyczna wartość 37°C jest kompatybilna z tymi danymi?

Ekonomista chce oszacować średni kwartalny wzrost PKB z marginesem błędu 0,5 punktu procentowego przy 95%. Jeśli $\sigma \approx 2$ pp (historyczna zmienność), ile kwartałów danych jest potrzebne? Omów praktyczną wykonalność.

Przedział 90% ma amplitudę $A_{90}$. Ile razy szerszy jest przedział 99% dla tej samej próby i tego samego $\sigma$?

Tygodniowy czas przed ekranem nastolatków: $\sigma = 3$ h, $n = 49$, $\bar X = 12$ h. Przedział ufności 95%. Czy wartość 10 h/tydzień jest wiarygodna?

Cholesterol: $\sigma = 8$ mg/dL. Jaka $n$ dla przedziału 99% z marginesem 2 mg/dL?

Czas pracy baterii: $n = 40$, $\bar X = 520$ h, $s = 60$ h. Przedział ufności 95%. Producent twierdzi, że średni czas pracy wynosi 500 godzin. Czy dane wspierają to twierdzenie?

Co się dzieje z przedziałem ufności 95% gdy zwiększasz $n$ z 25 na 100, utrzymując wszystko inne stałe?

INSS zebrał $n = 100$ wniosków o emeryturę: $\bar X = 37$ dni, $s = 15$ dni. Cel prawny to 45 dni. Skonstruuj przedział ufności 95% i interpretuuj w stosunku do celu.

Dla danych miesięcznego dochodu $n = 20$ pracowników, porównaj przedział 95% dla średniej (używając t) z przedziałem 95% dla mediany (używając statystyk porządkowych). Która jest bardziej odpowiednia do opisania „typowego" dochodu? Dlaczego?

Formalnie wyprowadź przedział ufności $(1-\alpha)$ dla $\mu$ ze znanym $\sigma$ z właściwości symetrii rozkładu normalnego standardowego. Wyraźnie zidentyfikuj, co jest losowe, a co stałe w $P(L \leq \mu \leq U) = 1 - \alpha$.

Pokaż że $T = (\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t_{n-1}$ gdy $X_i \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Jakie trzy właściwości musisz ustalić?

Pokaż dualność między przedziałem ufności a testem hipotezy: „odrzucenie $H_0: \mu = \mu_0$ na poziomie $\alpha$ jest równoważne $\mu_0$ będącemu poza przedziałem $(1-\alpha)$". Używaj tej dualności aby wyjaśnić jak przedział ufności może być używany jako jednoczesny test dwustronny dla wszystkich wartości $\mu_0$.

W $n = 200$ studentach ENEM ze szkoły publicznej, 65 uzyskało wynik powyżej 700 na esejach. Skonstruuj przedział ufności 95% dla rzeczywistej proporcji.