Lição 103 — Teste de hipótese: estrutura e lógica

Sformułuj hipotezy $H_0$ i $H_1$ dla następującego scenariusza: agencja ochrony konsumenta chce sprawdzić, czy średnia waga opakowania mąki o deklarowanej masie 500 g jest zgodna z normą.

Badacze chcą sprawdzić, czy brazylijscy nastolatki śpią mniej niż zalecane 8 godzin na noc. Sformułuj $H_0$ i $H_1$.

$H_0: \mu = 50$, $H_1: \mu \neq 50$. Dane: $n = 25$, $\bar X = 52$, $\sigma = 10$ (znane). Oblicz statystykę z i p-wartość. Wnioskuj dla $\alpha = 0{,}05$.

Producent twierdzi, że jego żarówki trwają średnio 1000 h. Próba $n = 64$ żarówek daje $\bar X = 985$ h z $\sigma = 50$ h (znane). Na poziomie 5%, średnia żywotność jest mniejsza niż twierdzenie?

W procesie karnym $H_0$ to „oskarżony jest niewinny" a $H_1$ to „oskarżony jest winny". Opisz Błędy Typu I i II w tym kontekście. Który jest uważany za bardziej poważny w brazylijskim systemie prawnym? Dlaczego?

Test daje $p = 0{,}03$. Które ze stwierdzenia poniżej jest prawidłowe?

Test z $n = 10$ daje $p = 0{,}12$. Badacz wyciąga wniosek „efekt nie istnieje". Co może być nie tak?

Szkoła wdrożyła nową metodologię. Historyczna średnia ocen to $\mu_0 = 35$ punktów. Po interwencji, $n = 40$ uczniów osiągnęło $\bar X = 37$ z $\sigma = 8$ (znane). Na poziomie 5%, oceny się poprawiły?

UPA chce wykryć zmniejszenie 5 min w czasie konsultacji ($\delta = 5$, $\sigma = 10$). Z $\alpha = 0{,}05$ i mocą 90%, jaka jest minimalna $n$?

Moneta jest rzucana 100 razy i wypadł orzeł 60 razy. Na poziomie 5%, czy moneta jest uczciwa?

Badacz zmienia poziom istotności z $\alpha = 0{,}05$ na $\alpha = 0{,}01$, utrzymując $n$ stałe. Wyjaśnij wpływ na Błąd Typu II i moc testu.

Normalna glikemia na czczo to $\mu_0 = 120$ mg/dL. Próba $n = 50$ diabetyków daje $\bar X = 128$ mg/dL z $\sigma = 20$ mg/dL. Na poziomie 1%, czy średnia glikemia jest podwyższona?

Wynik jest „statystycznie istotny na poziomie 5%". Co to prawidłowo oznacza?

Firma chce wykryć, czy średnia waga jej produktów spadła z $\mu_0 = 250$ g do $\mu_1 = 245$ g, z $\sigma = 20$ g, $\alpha = 0{,}05$ i mocą 80%. Jaka jest minimalna $n$?

Badanie genomiki przeprowadza 1000 testów jednocześnie z $\alpha = 0{,}05$. Wszystkie testowane geny są zerowe (bez rzeczywistego efektu). Ile fałszywych pozytywów jest oczekiwanych? Jeśli 60 genów jest „istotnych", jaka jest szacunkowa stopa fałszywych odkryć?

Moneta jest rzucana 800 razy i wypadł orzeł 384 razy. Na poziomie 5%, czy moneta jest uczciwa?

Badanie z $n = 30$ nastolatkami zarejestrował średni sen $\bar X = 7{,}5$ h z $\sigma = 1{,}5$ h (z wcześniejszych badań). Na poziomie 5%, czy śpią mniej niż 8 godzin?

Które ze stwierdzeń o istotności statystycznej jest prawidłowe?

Badanie kliniczne testuje 20 punktów końcowych jednocześnie z $\alpha = 0{,}05$. Jakie jest prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywego pozytywu bez korekcji? Opisz, jak korekcja Bonferroni rozwiązuje problem i omów jej ograniczenie.

Historyczna stopa zatwierdzenia ENEM w szkole to 30%. Po nowej metodologii, 38 ze 100 uczniów przeszło. Na poziomie 5%, czy stopa się poprawiła?

Testuj $H_0: \mu = 50$ vs $H_1: \mu \neq 50$ z $\sigma = 10$ i $\bar X = 51$. Oblicz p-wartość dla $n = 10$ i $n = 10000$. Co to ujawnia o p-wartości i wielkości efektu?

Normalne ciśnienie skurczowe: $\mu_0 = 120$ mmHg. Próba $n = 60$ dorosłych малoaktywnych: $\bar X = 125$ mmHg, $\sigma = 15$ mmHg. Na poziomie 1%, czy średnie ciśnienie jest podwyższone?

Badanie weterynarii chce wykryć, że średnia waga świń rasy zmieniła się z 125 kg na 120 kg ($\delta = 5$, $\sigma = 15$). Z $\alpha = 0{,}05$ dwustronnym i mocą 80%, ile zwierząt jest potrzebnych?

ENEM szkoły ma $\bar X = 52$ punktów wobec $\mu_0 = 50$ średniej stanowej, z $s = 10$ i $n = 10000$ uczniów. Wynik jest „wysoce istotny" ($p < 0{,}001$). Oblicz znormalizowaną wielkość efektu Cohena $d$. Czy różnica 2 punktów jest edukacyjnie znacząca? Omów.

Pokaż, że pod warunkiem, że $H_0$ jest prawdziwa, p-wartość ma rozkład Jednostajny$(0,1)$ dla testów ciągłych. Użyj tego wyniku, aby sprawdzić, że $P(\text{odrzucić } H_0 \mid H_0) = \alpha$.

Użyj Lematu Neymana-Pearsona, aby pokazać, że test z jednostronny (odrzucić, jeśli $\bar X > c$) jest testem o największej mocy poziomu $\alpha$ dla $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu = \mu_1 > \mu_0$ z danymi normalnymi i znanym $\sigma$.