Lição 108 — Teste qui-quadrado: aderência e independência

Sześciościenna kostka jest rzucana 60 razy. Jaka jest liczba stopni swobody w teście zgodności z rozkładem jednostajnym?

Dla kostki z poprzedniego ćwiczenia rzucanej 60 razy, jaka jest oczekiwana liczebność na każdej ściance?

Kostka jest rzucana 60 razy: obserwuje się 12, 8, 11, 9, 13, 7 dla ścian 1 do 6. Oblicz $\chi^2$ i wyciągnij wnioski na 5%.

Oblicz stopnie swobody dla testu niezależności w tabeli kontyngencji $3 \times 4$.

W tabeli kontyngencji z $R_1 = 80$, $C_1 = 120$, $n = 300$, oblicz $E_{11}$.

W teście niezależności uzyskano $\chi^2 = 8$ przy $df = 2$. Wartość krytyczna na 5% wynosi 5,99. Jaki jest wniosek?

Oblicz V Craméra: $\chi^2 = 20$, $n = 200$, tabela $3 \times 4$ (stąd $\min(r-1,c-1) = 2$).

W jakich sytuacjach powinna się zastosować korekcję Yatesa w teście chi-kwadrat?

Badacz ma $E_i = 3$ w dwóch z pięciu komórek tabeli. Czy test chi-kwadrat jest stosowny? Uzasadnij.

Obserwuje się $O = (45, 35, 20)$ w $n = 100$ obserwacjach z proporcjami oczekiwanymi $(0,5;\; 0,3;\; 0,2)$. Oblicz $\chi^2$.

Dla poprzedniego ćwiczenia (3 kategorie, rozkład w pełni określony), jaka jest liczba stopni swobody?

Badanie mierzy ciśnienie krwi (wysokie/normalne) w tej samej grupie pacjentów przed i po programie ćwiczeń. Dlaczego test chi-kwadrat niezależności nie jest stosowny?

Jaka jest wartość krytyczna $\chi^2_{0,05;\,1}$ (chi-kwadrat z 1 stopniem swobody na poziomie 5%)?

Oblicz oczekiwane liczebności dla tabeli $2 \times 2$ z komórkami $a = 80$, $b = 20$, $c = 60$, $d = 40$.

Ze średnikami z poprzedniego ćwiczenia, oblicz $\chi^2$ i wyciągnij wnioski na 5%.

Dlaczego $df = 1$ w każdej tabeli kontyngencji $2 \times 2$? Wyjaśnij geometrycznie lub algebraicznie.

Jaka jest średnia i wariancja $\chi^2_k$? Dla $k = 20$, czy rozkład jest w przybliżeniu symetryczny?

W teście zgodności z $k$ kategoriami, jak zmieniają się stopnie swobody gdy szacujemy $r$ parametrów rozkładu z samych danych?

Pokaż, że statystyka chi-kwadrat $\chi^2 = \sum (O_i - E_i)^2 / E_i$ jest zawsze nieujemna.

Czy test chi-kwadrat zgodności jest jednostronny (prawy ogon) czy dwustronny? Dlaczego?

$O = (10, 20, 30, 40)$ w $n = 100$ z oczekiwanym rozkładem jednostajnym. Oblicz $\chi^2$ i wyciągnij wnioski na 1%.

Jaka jest koncepcyjna różnica między testem jednorodności a testem niezależności? Czy wzór na $\chi^2$ się zmienia?

$\chi^2 = 14,5$ z $df = 5$. Jaki jest wniosek na 5% i na 1%? (Krytyczne: 11,07 i 15,09 odpowiednio.)

Co znaczyłoby uzyskanie $\chi^2 = 0$ w teście zgodności? Czy to możliwe w danych rzeczywistych?

Dlaczego bardzo duże próby sprawiają, że $\chi^2$ jest problematyczną miarą? Jaka jest alternatywa do użycia?

Opisz kształt krzywej chi-kwadrat dla małego $df$ (np. $df = 2$) vs. duży $df$ (np. $df = 20$). Jak to się wiąże z pochodzeniem rozkładu jako suma kwadratów?

Który z poniższych wzorów to statystyka chi-kwadrat Pearsona?

Wyjaśnij dlaczego reguła Cochrana ($E_i \geq 5$) jest konieczna dla ważności testu chi-kwadrat.

Krzyżowanie dihidrydowe grochu przewiduje fenotypy w proporcji 9:3:3:1. W 160 potomkach obserwuje się 95, 30, 27, 8. Testuj zgodność na 5%.

W badaniu z 400 studentami uniwersyteckimi (200 mężczyzn, 200 kobiet), uzyskano następującą tabelaryzację opinii na temat kwot (Przychylny/Neutralny/Przeciwny): mężczyźni 70/60/70, kobiety 110/50/40. Testuj niezależność na 5%.

Próba 200 M&M's z opakowania wykazuje: 30 czerwonych, 35 pomarańczowych, 22 żółtych, 40 zielonych, 55 niebieskich, 18 brązowych. Według producenta, proporcje to 13%, 20%, 14%, 16%, 24%, 13%. Testuj zgodność na 5%.

Test A/B/C na stronie docelowej: 200 odwiedzających na wariant. Konwersje: A = 24, B = 30, C = 40. Testuj jednorodność stawek konwersji na 5%.

Cztery maszyny produkują wady: 30, 40, 25, 35 wad odpowiednio (razem 130). Testuj czy wskaźnik wad jest jednostajny między maszynami na poziomie 5%.

Badanie kliniczne z 50 pacjentami (25 per grupa): szczepionka wyleczył 18, placebo 12. Zbuduj tabelę $2 \times 2$ i zastosuj test chi-kwadrat z korekcją Yatesa na 5%.

Czy dane o wypadkach na drogach DNIT podlegają rozkładowi Poissona? Opisz pełny schemat testu zgodności, w tym jak radzić sobie z nieznanym parametrem.

Które z poniższych warunków są konieczne dla ważności testu chi-kwadrat niezależności?

W badaniu przed-po, ci sami 80 pacjentów są klasyfikowani jako nadciśnieniowi lub normalni przed i po interwencji. Dlaczego użyć McNeara zamiast standardowego chi-kwadrat?

Badanie z 500 Brazylijczykami rejestruje region (Północ, Południowo-wschód, Południe) i preferencję płatności (gotówka vs. raty). Który test jest najbardziej odpowiedni, aby sprawdzić czy preferencja i region są niezależne?

Pogotowie ratunkowe zarejestrowało 210 wizyt w tygodniu (30 na dzień oczekiwane). Obserwowano: Niedz=18, Pon=40, Wt=28, Śr=25, Czw=29, Pt=42, Sob=28. Czy przepływ pacjentów jest jednostajny między dniami? Testuj na 5%.

Badanie sondażowe w 3 stanach brazylijskich (SP, RJ, MG) z 600 wyborców (po 200 per stan) rejestruje preferencję kandydata (A, B, C). Dane: SP=(80,70,50), RJ=(60,90,50), MG=(70,60,70). Testuj niezależność między stanem a kandydatem na 5% i oblicz V Craméra.

Pokaż że dla $k = 2$ kategorii, $\chi^2 = Z^2$ gdzie $Z$ to statystyka $z$ dwustronnego testu dla proporcji. To wyjaśnia dlaczego $\chi^2_{0,05;\,1} = (1,96)^2 \approx 3,84$.

Wykaż wzór $df = (r-1)(c-1)$ dla testu niezależności w tabeli $r \times c$, wyjaśniając ile niezależnych ograniczeń marginaleszy nakładają na wektor liczebności.