Lição 112 — Transformações lineares

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (2x,\, 3y)$. Sprawdź, że $T$ jest liniowa i znajdź jej macierz.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (x + 1,\, y)$. Dlaczego $T$ nie jest przekształceniem liniowym?

$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T(x) = x^2$. Podaj konkretny kontrprzykład, aby pokazać, że $T$ nie jest liniowa.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (y,\, x)$. Pokaż, że jest liniowa i znajdź jej macierz $2 \times 2$.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y, z) = (x + y,\, y + z)$. Pokaż, że jest liniowa i znajdź macierz $2 \times 3$.

$D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. Znajdź macierz $4 \times 4$ w bazie $\{1, x, x^2, x^3\}$. Co jest specjalnego w tej macierzy?

$I: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_3$, $I(p)(x) = \int_0^x p(t)\,dt$. Pokaż, że jest liniowa i znajdź macierz $4 \times 3$ w bazach kanonicznych.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_2$, $T(A) = A^\top$. Pokaż, że jest liniowa i napisz macierz $4 \times 4$ w bazie kanonicznej $\mathcal{M}_2$.

Ustal $B \in \mathcal{M}_n$. Określ $T: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ przez $T(A) = AB$. Pokaż, że $T$ jest liniowa.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}$, $T(A) = \det A$. Czy $T$ jest przekształceniem liniowym?

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p)(x) = p(2x)$. Pokaż, że jest liniowa i znajdź macierz diagonalną w bazie $\{1, x, x^2\}$.

$T: V \to W$, $T(v) = 0$ dla każdego $v \in V$. Pokaż, że $T$ jest liniowa. Jaka jest jej macierz w każdej bazie?

Znajdź macierz $2 \times 2$ obrotu o 45° na płaszczyźnie. Sprawdź, że jej wyznacznik to 1.

Znajdź macierz $2 \times 2$ odbicia przez prostą $y = x$. Sprawdź, że $[T]^2 = I$.

Znajdź macierz $2 \times 2$ rzutu ortogonalnego na oś $y$. Sprawdź, że $P^2 = P$ (idempotencja).

Znajdź macierz $2 \times 2$ rzutu ortogonalnego na prostą $y = x$. Sprawdź idempotencję.

Znajdź macierz skali niejednorodnej $(x,y) \mapsto (3x,\, 2y)$. Jakie jest znaczenie geometryczne wyznacznika?

Znajdź macierz ścinania poziomego o współczynniku 2: $T(x, y) = (x + 2y,\, y)$.

Złożenie: obrót o 30° następnie skala przez 2. Oblicz macierz iloczynu $[E_2][R_{30}]$.

Złożenie: odbicie przez prostą $y = x$ następnie obrót o 90°. Oblicz macierz iloczynu i określ wynikowe przekształcenie.

W $\mathbb{R}^3$ znajdź macierz $3 \times 3$ obrotu o 90° wokół osi $z$ (oś $z$ pozostaje ustalona).

W $\mathbb{R}^3$ znajdź macierz $3 \times 3$ rzutu ortogonalnego na płaszczyznę $xy$.

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p) = p' + p$. Znajdź macierz $3 \times 3$ w bazie kanonicznej.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $T(v) = v \times (1,1,1)$ (iloczyn wektorowy z $(1,1,1)$ ustalone). Znajdź macierz $3 \times 3$.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x,y) = (x, -y)$ (odbicie przez oś $x$). Znajdź $[T]$ w bazie kanonicznej i w bazie $\mathcal{B}' = \{(1,1),\,(1,-1)\}$. Potwierdź, że są podobne.

Pokaż, że macierze podobne mają taki sam wyznacznik i taki sam ślad.

Pokaż, że jeśli $A \sim B$ (podobne), to $A^k \sim B^k$ dla każdego $k \geq 1$. Wniosek: nilpotencja jest niezmiennikiem podobieństwa.

W grafice komputerowej translacja przez $(a, b)$ w $\mathbb{R}^2$ nie jest przekształceniem liniowym. Jak współrzędne jednorodne pozwalają reprezentować ją jako przekształcenie liniowe w $\mathbb{R}^3$? Napisz macierz $3 \times 3$.

Portfel z $n$ aktywami, wagi $w \in \mathbb{R}^n$, oczekiwane zwroty $\mu \in \mathbb{R}^n$. Czy oczekiwany zwrot $r_p = w^\top \mu$ jest przekształceniem liniowym w $w$? A wariancja $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma w$?

Napisz macierz Toeplitza $3 \times 5$, która realizuje dyskretny 1D splot z jądrem $k = (1, 2, 1)$ nad sygnałem długości 5 (wyjście ważne, długość 3).

W uczeniu maszynowym warstwa gęsta to $y = Wx + b$. Która część jest przekształceniem liniowym? Dlaczego dodanie $b$ nie czyni warstwy liniową? Skąd pochodzi nieliniowość sieci neuronowej?

System LTI: $\dot{x} = Ax$, rozwiązanie $x(t) = e^{At}x_0$. Pokaż, że zastosowanie $x_0 \mapsto x(t)$ jest przekształceniem liniowym. Co to jest macierz $e^{At}$?

Operator różniczkowania $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$ ma nilpotentną macierz. Wyjaśnij, dlaczego $D^{n+1} = 0$ i co to oznacza w kategoriach wielomianów.

Dlaczego $\dim \mathcal{L}(V, W) = (\dim V)(\dim W)$? Co to mówi o przestrzeni wszystkich macierzy $m \times n$?

$T(0) = 0$ to warunek konieczny dla liniowości. Podaj przykład $T$ z $T(0) = 0$, które nie jest liniowe. Dlaczego $T(0) = 0$ nie jest wystarczające?

Jeśli $A = [T]_{\mathcal{B}}$ reprezentuje $T$ w $\mathcal{B}$, wyjaśnij geometryczne znaczenie formuły $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP$. Co robi każdy czynnik?

Wyjaśnij, bez obliczania, dlaczego iloczyn macierzowy $[T][S]$ jest dokładnie złożeniem $T \circ S$. Jaki jest związek między definicją iloczynu macierzowego i definicją złożenia?

Pokaż, że $\mathcal{L}(V, W)$ (zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$) jest sam w sobie przestrzenią wektorową, z operacjami $(T_1 + T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v)$ i $(aT)(v) = a\,T(v)$.

Znajdź $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ z $T^2 = -I$ (negatyw tożsamości). Sugeruje się obrót o 90°. Jaki jest związek z liczbami zespolonymi?

Dowód: każde przekształcenie liniowe $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ma formę $T(x) = ax$ dla pewnego $a \in \mathbb{R}$.

Dowód. Udowodnij, że złożenie przekształceń liniowych jest liniowe. Niech $S: U \to V$ i $T: V \to W$ obie będą liniowe. Pokaż, że $T \circ S: U \to W$ jest liniowe.

Dowód. Udowodnij przez indukcję, że każde przekształcenie liniowe zachowuje dowolne kombinacje liniowe: $T\!\left(\sum c_i v_i\right) = \sum c_i T(v_i)$.

Dowód. Udowodnij: $T$ liniowe jest iniektywne $\iff \ker T = \{0\}$.

Dowód. Udowodnij twierdzenie o rozszerzeniu liniowym: dane przestrzenie wektorowe $V$ (wymiar $n$) i $W$, oraz wektory $w_1, \ldots, w_n \in W$ dowolne, istnieje jedyne przekształcenie liniowe $T: V \to W$ z $T(v_i) = w_i$ dla $i = 1, \ldots, n$.