Lição 114 — Autovalores e autovetores

Oblicz wartości własne i wektory własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ i znajdź odpowiadające im wektory własne.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne i wektory własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne i wektory własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.

Przeanalizuj diagonalizowalność macierzy $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Oblicz krotność algebraiczną i geometryczną.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ i określ czy jest diagonalizowalna.

Oblicz wartości własne macierzy $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Jeśli $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ma wartości własne $1$ i $-1$, jakie są wartościami własnymi macierzy $A^{10}$? Oblicz $A^{10}$.

Macierz $A$ ma wartości własne $2$ i $3$. Jakie są wartościami własnymi macierzy $A^2 + I$?

Macierz $3 \times 3$ ma wartości własne $1$, $2$, $4$. Oblicz $\det A$ i $\operatorname{tr}(A)$.

Macierz $2 \times 2$ ma $\operatorname{tr}(A) = 5$ i $\det A = 6$. Oblicz wartości własne.

Wykaż że jeśli $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A$ odwracalnej, to $1/\lambda$ jest wartością własną macierzy $A^{-1}$.

Oblicz wartości własne macierzy rotacji $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ dla $\theta \in (0, \pi)$.

Wyjaśnij dlaczego macierz z $\det A = 0$ musi mieć $0$ jako wartość własną.

Wykaż że $A$ i $A^T$ mają ten sam wielomian charakterystyczny (i zatem te same wartości własne).

Jeśli $B = P^{-1}AP$ (macierze podobne), co możesz wnioskować o wartościach własnych i wektorach własnych macierzy $A$ i $B$?

Jeśli $A^2 = I$, jakie są jedynymi możliwymi wartościami własnymi macierzy $A$?

Jakie są wartościami własnymi rzutu ortogonalnego $P$ (z $P^2 = P$)?

Wykaż że wektory własne dla różnych wartości własnych są liniowo niezależne (dla dwóch wektorów).

Wykaż że rzeczywiste wartości własne macierzy ortogonalnej $Q$ (z $Q^T Q = I$) spełniają $|\lambda| = 1$.

Łańcuch Markowa dwóch regionów (Południowy Wschód i Północny Wschód) ma macierz przejścia $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. Znajdź rozkład stacjonarny przez wektor własny $\lambda = 1$.

Sekwencja Fibonacciego jest generowana przez $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Oblicz wartości własne i wyjaśnij wzrost sekwencji.

Dla systemu kontrolnego $\dot{x} = Ax$ z $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$: zweryfikuj stabilność analizując wartości własne.

Macierz Hessiana w punkcie krytycznym to $H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$. Zidentyfikuj wartości własne i zaklasyfikuj punkt krytyczny (maksimum/minimum/siodło).

Dla grafu ścieżka 3 węzłów (1—2—3), ułóż laplaceian $L = D - W$, oblicz wartości własne i zidentyfikuj liczbę spójnych składowych.

Udowodnij że jeśli $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A$ z wektorem własnym $\vec{v}$, to $\lambda + c$ jest wartością własną macierzy $A + cI$ z tym samym wektorem własnym $\vec{v}$.

W finansach macierz kowariancji dwóch identycznych akcji z wariancją $\sigma^2$ i korelacją $\rho$ to $\Sigma = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}$. Oblicz wartości własne i zinterpretuj.

Wykaż że jeśli $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A$ z wektorem własnym $\vec{v}$, to $\lambda^k$ jest wartością własną macierzy $A^k$ dla każdej dodatniej liczby całkowitej $k$.

Wykaż że wartościami własnymi macierzy idempotentnej ($A^2 = A$) są tylko $0$ lub $1$.

Skonstruuj macierz $2 \times 2$ z wartościami własnymi $1$ i $-1$ taką że $(1, 1)$ będzie wektorem własnym dla $\lambda = 1$ i $(1, -1)$ będzie wektorem własnym dla $\lambda = -1$.

Wykaż że wektory własne macierzy symetrycznej odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

Wykaż że macierz trójkątna (górna lub dolna) ma wartościami własnymi równymi elementom diagonali głównej.

Wykaż (przez indukcję) że wektory własne odpowiadające $k$ różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

Wykaż że każda rzeczywista macierz symetryczna ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.