Lição 117 — Decomposição em valores singulares (SVD)

Wyjaśnij różnicę między wartościami własnymi i osobliwymi macierzy $$. Dla jakiego typu macierzy się pokrywają?

Oblicz SVD $$.

Oblicz zwartą SVD $$. Jaki jest rząd $$?

Jeśli SVD $$ ma wartości osobliwe $$, jaki jest rząd $$? Jaka jest wymiarowość $$?

SVD $$ ma wartości osobliwe $$. Oblicz błąd Frobeniusa i błąd spektralny najlepszego przybliżenia rangi 1.

Opisz jak obliczyć pseudoinwersję $$ macierzy $$ z wartościami osobliwymi $$ i rangą 2. Jaka jest wymiarowość $$?

Macierz $$ ma wartości osobliwe $$ i $$. Oblicz $$ i zinterpretuj co to oznacza do rozwiązania $$ numerycznie.

Macierz ma wartości osobliwe $$. Jaki jest najmniejszy $$ taki że przybliżenie rangi $$ wyjaśnia co najmniej 95% wariancji Frobeniusa?

Pokaż że dla symetrycznej dodatnio półokreślonej macierzy $$, SVD ma $$ i $$. Co wartości osobliwe są, w tym przypadku?

Obraz w skali szarości jest macierzą $$. Jeśli przechowujesz obciętą SVD z $$ składnikami, ile liczb zmiennoprzecinkowych przechowujesz w porównaniu z oryginalnym obrazem? Jaki jest współczynnik kompresji?

Które stwierdzenie o interpretacji $$ i $$ w SVD jest poprawne?

SVD $$ ma wartości osobliwe $$. Oblicz normę spektralną $$ i normę Frobeniusa $$.

Obraz $$ ma rząd numeryczny $$. Jaki jest współczynnik kompresji przy przechowywaniu kompletnej SVD rangi $$ zamiast oryginalnej macierzy?

Wyjaśnij geometrycznie co SVD mówi o tym jak macierz $$ transformuje sferę jednostkową $$. Jakie są półosie wynikowej elipsoidy?

Pokaż że w SVD się ma $$ dla każdego $$. Użyj tego do sprawdzenia że $$.

W latentnej analizie semantycznej (LSA), SVD macierzy termin-dokument jest obcinana do $$ największych wartości osobliwych. Wyjaśnij koncepcyjnie dlaczego to przechowuje "ukryte tematy" w dokumentach.

Sformułuj twierdzenie Eckarta-Younga i naszkicuj ideę dowodu że $$ jest rzeczywiście najlepszym przybliżeniem rangi $$ w normie spektralnej.

Jeśli $$ ma wartości osobliwe $$, jakie są wartości osobliwe $$? Oblicz $$ i $$.

Macierz ma wartości osobliwe $$. Używając progu $$ względem największego osobliwego, jaki jest rząd numeryczny?

Udowodnij że macierz ortogonalna ma wszystkie wartości osobliwe równe 1. Jaki jest numer warunkowania macierzy ortogonalnej?

Wyjaśnij jak SVD macierzy zwrotów akcji identyfikuje "czynniki ryzyka" w portfelu. Co pierwsze wektory osobliwe $$ reprezentują ekonomicznie?

Udowodnij że $$ i $$ mają takie same niezerowe wartości osobliwe.

Wyprowadź rozwiązanie ridge regression $$ w terminach SVD $$.

Brazylijska krzywa dochodów (yield curve) ma dzienne dane yields na 10 różnych dojrzałościach. SVD tej macierzy identyfikuje 3 główne czynniki. Jakie są te czynniki ekonomicznie?

Dla jakich wartości $$ obcinana SVD obrazu $$ zajmuje mniej pamięci niż oryginalny obraz? Wyprowadź ogólny warunek.

Norma Frobeniusa $$ równa się:

Jeśli $$ ma wartości osobliwe $$, jakie są wartości osobliwe $$?

Udowodnij że kolumny $$ i $$ w SVD $$ tworzą ortonormalne bazy czterech podstawowych podprzestrzeni $$. Sformułuj każdy podprzestrzeń i jego bazę jawnie.

Opisz algorytm rekomendacji współpracy SVD: biorąc rzadką macierz użytkownika-pozycji, jak obcinana SVD może przewidzieć brakujące oceny i polecać pozycje?

Opisz algorytm randomizowanej SVD Halka-Martinssona-Troppa (2011) w 5 krokach. Dlaczego jest to korzystne dla dużych macierzy niskiego rangi numerycznego? Jaka jest złożoność porównana z dokładną SVD?