Lição 119 — Síntese: Black-Scholes revisited

W formule Blacka-Scholesa $C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$, co reprezentuje zmienna $S$?

W formule Blacka-Scholesa, co reprezentuje $N(d)$?

Dla $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, oblicz $d_1$ i $d_2$.

Z $d_1 = 0{,}40$ i $d_2 = 0{,}20$ z ćwiczenia 119.3, i wiedząc że $N(0{,}40) \approx 0{,}6554$, $N(0{,}20) \approx 0{,}5793$, oblicz cenę call ($S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$).

Z danymi z ćwiczenia 119.4 ($C = 5{,}50$, $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$), użyj parytetem kupna-sprzedaży aby obliczyć cenę europejskiej opcji sprzedaży.

Z $\Delta = N(d_1) = 0{,}6554$ (ćwiczenie 119.3), ile akcji sprzedać na krótko aby delta-zabezpieczyć pozycję long w 500 call?

Który Grek mierzy wrażliwość ceny opcji na zmienność $\sigma$?

Oblicz $d_1$ i $d_2$ dla PETR4: $S = 46{,}60$, $K = 47$, $r = 14{,}65\%$ p.a., $\sigma = 35\%$, $T = 30$ dni.

Z $d_1 \approx 0{,}085$ i $d_2 \approx -0{,}015$ (ćwiczenie 119.8), i $N(0{,}085) \approx 0{,}534$, $N(-0{,}015) \approx 0{,}494$, oblicz teoretyczną cenę call PETR4.

Z $C \approx 1{,}92$, $S = 46{,}60$, $K = 47$, $Ke^{-rT} \approx 46{,}43$, oblicz cenę put PETR4 przez parytet kupna-sprzedaży.

Równanie różniczkowe cząstkowe Blacka-Scholesa jest matematycznie analogiczne do którego innego klasycznego równania fizyki?

Powtórz obliczenia z Przykładu 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $T = 1$) z $\sigma = 0{,}30$ (większa zmienność). Porównaj z wynikiem $C \approx 10{,}45$ dla $\sigma = 0{,}20$. Co się dzieje z ceną call?

Z $S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, oblicz $C$ dla $T = 0{,}25$ (3 miesiące). Porównaj z $C \approx 10{,}45$ dla $T = 1$. Zinterpretuj efekt czasu (Theta).

Przeczytaj z tabeli normalnej standardowej wartości $N(d)$ dla $d \in \{0; 0{,}50; 1{,}00; 1{,}96; 2{,}00\}$. Użyj symetrii $N(-d) = 1 - N(d)$ aby obliczyć $N(-1)$ i $N(-1{,}96)$.

Wyjaśnij w jednym zdaniu probabilistyczną interpretację $N(d_2)$ w formule Blacka-Scholesa.

Dla $S = 100$, $K = 110$ (out-of-the-money), $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, oblicz $d_1$, $d_2$ i $C$. Porównaj z opcją przy pieniądzu z Przykładu 2.

Z $C = 6{,}0$ z ćwiczenia 119.16 ($S = 100$, $K = 110$, $r = 0{,}05$, $T = 1$), oblicz cenę put przez parytet. Porównaj put i call.

Rynek wycenił call PETR4 (ćwiczenie 119.9) na R$ 2,50 podczas gdy model z $\sigma = 35\%$ dał R$ 1,92. Wyjaśnij koncepcję zmienności implikowanej i jak ją obliczyć.

Opisz 3 podstawienia zmiennych które transformują równanie różniczkowe cząstkowe Blacka-Scholesa w równanie ciepła. Dlaczego to jest użyteczne?

Opisz dynamiczne zabezpieczenie delta-neutralne dla 1.000 call PETR4 ($\Delta = 0{,}534$) na przestrzeni 2 dni. Dlaczego to zabezpieczenie jest „dynamiczne" i jaki jest jego rzeczywisty koszt który BS ignoruje?

Wyjaśnij jak Centralne Twierdzenie Graniczne (Lekcja 77) uzasadnia założenie log-normalności $S_T$ w modelu Blacka-Scholesa.

Dlaczego równanie różniczkowe cząstkowe Blacka-Scholesa jest klasyfikowane jako paraboliczne? Co to oznacza fizycznie?

W przypadku specjalnym $S = K$ i $r = 0$, pokaż że $C = S[2N(\sigma\sqrt{T}/2) - 1]$. Użyj symetrii rozkładu normalnego standardowego.

Funkcja $N(d)$ nie ma formuły zamkniętej. Opisz wielomianowe przybliżenie (Abramowitz-Stegun) użyte w implementacjach bez biblioteki statystycznej. Oblicz $N(0{,}35)$ przez przybliżenie i porównaj z wartością tabeli ($\approx 0{,}6368$).

Naszkicuj wyprowadzenie równania różniczkowego cząstkowego Blacka-Scholesa: konstruuj portfel replikujący $\Pi = \Delta S - C$, zastosuj Lemat Itô do $dC$, eliminuj ryzyko wybierając odpowiednią $\Delta$, i użyj braku arbitrażu aby otrzymać równanie.

Wymień 3 założenia Blacka-Scholesa które wyraźnie zawaliły się podczas finansowego kryzysu 2008. Dla każdego wymień alternatywny model który je łagodzi.

Sprawdź numerycznie że formuła BS spełnia równanie różniczkowe cząstkowe BS, używając wartości z Przykładu 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Oblicz każdy wyraz równania.

Udowodnij parytet kupna-sprzedaży $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ przez argument braku arbitrażu z dwoma portfelami o tym samym payoffie.

Oblicz granicę $\lim_{\sigma\to 0^+} C(S, t)$ przez formułę Blacka-Scholesa. Użyj właściwości $N(-\infty) = 0$ i $N(+\infty) = 1$. Zinterpretuj finansowo.

Jak stopa Selic wpływa na cenę europejskiej opcji kupna wg BS? Oblicz Greka Rho ($\rho = \partial C / \partial r$) dla danych PETR4 (ćwiczenie 119.9) i zinterpretuj.

Oblicz Vegę call z Przykładu 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $T = 1$, $\sigma = 0{,}20$). Użyj $\phi(0{,}35) \approx 0{,}375$. Zinterpretuj: ile call się zmienia jeśli $\sigma$ wzrośnie z 20% na 21%?

Oblicz Gammę call z Przykładu 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Zinterpretuj: jeśli $S$ wzrośnie R$ 1, ile zmienia się Delta?

W portfelu z 2 aktywami równomiernie ważonymi, ze zmiennościami $\sigma_1 = \sigma_2 = 25\%$ i korelacją $\rho = 0{,}5$, oblicz zmienność portfela. Jak się to łączy z macierzą kowariancji użytą w BS multi-aktywu?

Naszkicuj diagram payoffu europejskiej opcji kupna o wygaśnięciu z $K = 100$ i zapłaconym prémium $C = 10{,}45$. Zidentyfikuj punkt rentowności i strefy zysku/straty.

Napisz $N(d)$ jako całkę i wyjaśnij dlaczego ta całka nie ma formuły zamkniętej w funkcjach elementarnych. Jak to się łączy z Fundamentalnym Twierdzeniem Rachunku Różniczkowego (Lekcja 83)?

Porównaj geometryczny ruch Browna (GBM) z prostym spacerem losowym (dyskretnym). Dlaczego GBM jest bardziej odpowiedni do modelowania cen akcji?

PETR4 płaci dywidendy ciągłe na poziomie $q = 5\%$ rocznie. Jak dostosować formułę BS? Oblicz nowe $S_{\text{adj}} = Se^{-qT}$ dla danych z ćwiczenia 119.8 i opisz efekt na cenę call.

W praktyce brazylijskiej, krzywa zmienności implikowanej PETR4 nie jest płaska — to „uśmiech" (asymetryczny sorriso). Wyjaśnij co to oznacza i dlaczego jest sprzeczne z założeniami Blacka-Scholesa.

Opisz algorytm Newtona-Raphsona do obliczania zmienności implikowanej, mając że call PETR4 jest wyceniana na R$ 2,50 (vs. R$ 1,92 teoretyczne z $\sigma = 35\%$). Użyj Vegi jako pochodnej. Oblicz pierwszą iterację.

Opisz model dwumianowy Coxa-Rossa-Rubinstaina (CRR) jako alternatywę do BS dla wyceny amerykańskiej opcji kupna ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$ rok, $n = 3$ kroki). Dlaczego BS nie działa dla opcji amerykańskich?

Wyjaśnij koncepcję „opcji rzeczywistej" (real option) i jak formuła BS może być użyta do oceny prawa do rozszerzenia fabryki. Zidentyfikuj $S$, $K$, $\sigma$ w tym kontekście.

Z równania różniczkowego cząstkowego Blacka-Scholesa, udowodnij relację $\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta = rC$ między Grekami. Zinterpretuj finansowo: dlaczego pozycja long call delta-zabezpieczona traci pieniądze z czasem ale zyskuje na drastycznych ruchach aktywa?