v1 · padrão canônico

Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna

Suma Riemanna

Definition· Całka Riemanna

Niech $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ będzie ograniczona. Partition podział $P$ przedziału $[a,b]$ to zbiór $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . Norma podziału to $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ , gdzie $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Wybierając punkty próbkowania $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , suma Riemanna to:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

Funkcja $f$ jest całkowalna na $[a,b]$ , jeśli istnieje granica $L$ taka, że dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta > 0$ z $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ zawsze, gdy $\|P\| < \delta$ , niezależnie od wyboru $x_i^*$ . Zapisuje się $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"Całka oznaczona jest formalnie granicą sum Riemanna, gdy norma podziału dąży do zera." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Sumy Darboux

Równoważna definicja przez sumy dolne i górne:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

Funkcja $f$ jest całkowalna $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Kryterium całkowalności

Właściwości

Definition· Właściwości całki oznaczonej

Dla $f$ , $g$ całkowalnych na $[a, b]$ i $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ z $a \leq c \leq b$ :

Liniowość: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Addytywność: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inwersja granic: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Całka zerowa: $\int_a^a f = 0$
Monotoniczność: $f \leq g$ na $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Nierówność trójkąta: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Sześć prostokątów Riemanna przybliżających całkę. Gdy $n \to \infty$ i $\|P\| \to 0$ , suma zbiega do dokładnego pola.

Twierdzenie o wartości średniej dla całek

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Suma Riemanna z n = 4 (podstawowe)

Problema. Przybliż $\int_0^2 x^2\, dx$ używając sumy Riemanna z prawej strony z $n = 4$ podprzedziałów.

Strategia. Podziel $[0, 2]$ na 4 równe części, weź punkt z prawej strony każdej części, oblicz sumę.

Rozwiązanie. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Punkty z prawej strony: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(Dokładna wartość przez TFC to $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . Suma z prawej przeszacowała, ponieważ $x^2$ rośnie.)

Weryfikacja. Suma z dużym $n$ zbiega do $8/3$ : potwierdza, że $3{,}75$ to przybliżenie z nadmiarem.

Źródło. APEX Calculus, §5.2, Przykład 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretacja geometryczna całki z funkcją ujemną (podstawowe)

Problema. Interpretuj geometrycznie $\int_0^\pi \sin x\, dx$ i $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Strategia. $\sin x \geq 0$ na $[0, \pi]$ i $\sin x \leq 0$ na $[\pi, 2\pi]$ . Całka oznaczona mierzy pole zorientowane.

Rozwiązanie.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (pole nad osią: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (pole pod osią: wkład $-2$ ).

Stąd $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . Całkowite pole geometryczne to $2 + 2 = 4$ , ale całka to zero.

Weryfikacja. Addytywność: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Zgadza się.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Przykład 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Oszacowanie przez ograniczenie (średnio zaawansowane)

Problema. Pokaż, że $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Strategia. Użyj monotoniczności: ogranicz $\sqrt{x+1}$ na $[0, 2]$ od dołu i góry.

Rozwiązanie. Na $[0, 2]$ : minimum $\sqrt{x+1}$ przy $x = 0$ to $\sqrt{1} = 1$ ; maksimum przy $x = 2$ to $\sqrt{3}$ .

Przez monotoniczność: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , czyli $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Weryfikacja. Dokładna wartość przez TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , które jest między 2 i $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Zgadza się.

Źródło. Active Calculus, §4.2, Ćwiczenie 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Średnia wartość funkcji ciągłej (zaawansowane)

Problema. Oblicz średnią wartość $f(x) = x^2$ na przedziale $[1, 4]$ .

Strategia. Użyj wzoru na średnią: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Rozwiązanie. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Przez TVM całki, istnieje $c \in (1, 4)$ takie, że $f(c) = 7$ , czyli $c^2 = 7$ , stąd $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Zgadza się.

Weryfikacja. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ jest wewnątrz przedziału $(1, 4)$ , jak gwarantuje TVM. Zgadza się.

Źródło. APEX Calculus, §5.3, Przykład 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Przybliż $\int_0^4 x^2\, dx$ używając sumy Riemanna z prawej strony z $n = 4$ i $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.2Application
Przybliż $\int_0^4 x^2\, dx$ używając sumy Riemanna z lewej strony z $n = 4$ i $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.3Application
Oblicz $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.4Application
Oblicz $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Oblicz $\int_0^\pi \cos x\, dx$ i interpretuj wynik geometrycznie.
Solve online
Ex. 82.6Application
Oblicz $\int_0^1 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.7Application
Oblicz $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.8Application
Oblicz $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Oblicz $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Oblicz $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Wiedząc, że $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ i $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , oblicz $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Wiedząc, że $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ i $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , oblicz $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.13Application
Jeśli $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , jaka jest $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Oblicz $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Oblicz $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Bez obliczania, jaki jest znak $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.17Understanding
Które stwierdzenie o $\int_a^b f(x)\, dx$ jest poprawne?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Pojazd ma prędkość $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. Jaki dystans przejecha z $t = 0$ do $t = 4$ s?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
Temperatura reaktora przemysłowego zmienia się jako $T(t) = 2t + 1$ °C w ciągu pierwszych 6 godzin pracy. Oblicz średnią temperaturę w tym okresie.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Wiedząc, że $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ i $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , oblicz $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Oblicz $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Oblicz $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Oblicz całkowite pole geometryczne (zawsze dodatnie) ograniczone przez $y = \sin x$ i oś $x$ na $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Użyj właściwości monotoniczności do ustalenia ograniczeń górnego i dolnego dla $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , bez obliczania.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Oblicz średnią wartość $f(x) = \sin x$ na $[0, \pi]$ i znajdź wartość $c$ gwarantowaną przez TVM całki.
Solve online
Ex. 82.26Application
Oblicz $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Oblicz $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Ustal ograniczenia dla $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ i następnie oblicz dokładną wartość.
Solve online
Ex. 82.29ModelingAnswer key
Zmienna siła $F(x) = 10 - 2x$ N działająca na obiekt, który przesuwa się z $x = 0$ do $x = 3$ m. Oblicz wykonaną pracę ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
Solve online
Ex. 82.30Proof
Udowodnij właściwość inwersji limitów: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
Solve online

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construção intuitiva das somas de Riemann, atividades com gráfico.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definição formal, propriedades, exemplos numéricos.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Critério de integrabilidade, propriedades, exemplos com funções positivas e negativas.