v1 · padrão canônico

Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Część 1 i Część 2. Most między pochodną a całką. Reguła Leibniza dla limitów zmiennych. Newton i Leibniz, XVII w.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado i dowody

TFC — Część 1: pochodna całki

"TFC1 stwierdza, że pochodna funkcji zdefiniowanej przez całkę z górnym limitem zmiennym równa się całce obliczonej na tym limicie górnym." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Dowód TFC1. Z definicji pochodnej:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Przez Twierdzenie o Średniej Wartości dla Całek, istnieje $c_h$ między $x$ i $x+h$ takie, że $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Zatem:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Ponieważ $c_h \to x$ gdy $h \to 0$ i $f$ jest ciągła, mamy $f(c_h) \to f(x)$ . Zatem $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Część 2: obliczanie całki

Dowód TFC2. Z TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ spełnia $G' = f$ . Ponieważ również $F' = f$ , funkcja $F - G$ ma pochodną zero w $(a, b)$ , więc $F(x) = G(x) + C$ dla pewnej stałej $C$ . Zatem:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Reguła Leibniza (limity zmienne)

Przykłady rozwiązane

Example— 1· TFC2 zastosowany do wielomianu (podstawowy)

Problem. Oblicz $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Strategia. Znajdź funkcję pierwotną przez TFC2: $F(x)$ takie, że $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Następnie $F(3) - F(1)$ .

Rozwiązanie. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Weryfikacja. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Zgadza się.

Źródło. APEX Calculus, §5.4, Przykład 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· TFC1 do różniczkowania całki (pośrednio)

Problem. Oblicz $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Strategia. TFC1 połączone z regułą łańcucha: górny limit to $v(x) = x^3$ .

Rozwiązanie. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Weryfikacja. Ogólna reguła Leibniza: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Zastosowana z $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Zgadza się.

Źródło. APEX Calculus, §5.4, Przykład 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Reguła Leibniza z oboma limitami zmiennymi (pośrednio)

Problem. Oblicz $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ dla $x > 0$ .

Strategia. Ogólna reguła Leibniza: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ z $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Rozwiązanie. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Weryfikacja. Alternatywnie: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Różniczkując: $(\ln x)' = 1/x$ . Zgadza się.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Ćwiczenie 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Pole między krzywą a osią ze zmianą znaku (wyzwanie)

Problem. Oblicz całkowite pole geometryczne między $y = x^2 - 4$ a osią $x$ w $[-3, 3]$ .

Strategia. Funkcja $f(x) = x^2 - 4$ jest ujemna w $(-2, 2)$ i dodatnia poza tym. Podziel przedział na zera, aby dodać pola ze znakami.

Rozwiązanie. Zera: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

W $[-3, -2]$ i $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . W $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Wartość bezwzględna: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Pole całkowite: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Weryfikacja. Całka $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . Całka oznaczona różni się od pola geometrycznego, gdy $f$ zmienia znak.

Źródło. Active Calculus, §4.4, Ćwiczenie 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Oblicz $\int_0^3 2x\, dx$ przez TFC2.
Solve online
Ex. 83.2Application
Oblicz $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.3Application
Oblicz $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.4Application
Oblicz $\int_0^2 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.5Application
Oblicz $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.6Application
Oblicz $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.7Application
Jeśli $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , oblicz $G'(x)$ przez TFC1.
Solve online
Ex. 83.8Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.9Application
Oblicz $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.10Application
Oblicz $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.11Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.12Application
Oblicz $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.13Application
Oblicz $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Jeśli $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , co to jest $G'(x)$ przez TFC1?
Solve online
Ex. 83.15Understanding
Jeśli $F'(x) = f(x)$ , co to jest prawidłowe wyrażenie dla $\int_a^b f(x)\, dx$ przez TFC2?
Solve online
Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.17Application
Oblicz $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.18ModelingAnswer key
Obiekt ma prędkość $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Oblicz czyste przesunięcie i całkowitą odległość przebytą od $t = 0$ do $t = 4$ s.
Solve online
Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.20Application
Oblicz $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.21Modeling
Koszt marginalny produkcji fabryki wynosi $C'(q) = 2q + 50$ reali za jednostkę. Oblicz całkowity koszt produkcji pierwszych 100 jednostek.
Solve online
Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Zdefiniuj $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Oblicz $G(x)$ jawnie, weryfikuj, że $G'(x) = 2x - 1$ , i ewaluuj $G(1)$ oraz $G(3)$ .
Solve online
Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Wiedząc, że $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ i $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , oblicz $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.24Challenge
Oblicz pole regionu ograniczone przez $y = x^2 - x$ i oś $x$ w $[0, 1]$ .
Solve online
Ex. 83.25Application
Oblicz $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.26Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ bez obliczania funkcji pierwotnej.
Solve online
Ex. 83.27ModelingAnswer key
Moc elektryczna fabryki zmienia się zgodnie z $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ w godzinach). Oblicz energię zużytą w pierwszych 12 godzinach pracy i koszt przy stawce R$ 0,85 za kWh.
Solve online
Ex. 83.28Challenge
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.29Challenge
Oblicz średnią wartość $f(x) = x^2$ w $[0, 3]$ i znajdź punkt $c$ gwarantowany przez TVM całki.
Solve online
Ex. 83.30Proof
Udowodnij TFC2 z TFC1: jeśli $F' = f$ i $f$ jest ciągła w $[a,b]$ , wtedy $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
Solve online

Źródła

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motywacja fizyczna, aktywność odkrywcza obu części TFC.
APEX Calculus — Hartman i in. · §5.4 · CC-BY-NC. Dowody TFC1 i TFC2, reguła Leibniza, różne ćwiczenia.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Kontekst historyczny Newton/Leibniz, przykłady różniczkowania całek.