Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

Oblicz $\int (2x+1)^4\, dx$.

Oblicz $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$.

Oblicz $\int \cos^3 x \sin x\, dx$.

Oblicz $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$.

Oblicz $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$.

Oblicz $\int \cos(3x)\, dx$.

Oblicz $\int x e^{-x^2/2}\, dx$.

Oblicz $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$.

Oblicz $\int \sin^4 x \cos x\, dx$.

Oblicz $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$.

Oblicz $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$.

Oblicz $\int \sin(2x)\, dx$.

Oblicz $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$.

Oblicz $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$.

Oblicz $\int \cot x\, dx$.

Oblicz $\int e^{5x}\, dx$.

Oblicz $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$.

Które podstawienie $u$ jest najwłaściwsze do obliczenia $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$?

Gdy spróbujesz użyć podstawienia $u = g(x)$, zauważysz, że $g'(x)$ jest pomnożone przez stałą inną niż 1. Co zrobić?

Oblicz $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$.

Oblicz $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$.

Oblicz $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$.

Fundusz dochodu stałego ma stopę wpłat R$ 500 na miesiąc z wzrostem wykładniczym: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ reali na miesiąc. Oblicz stan skumulowany po 12 miesiącach.

Oblicz $\int x\cos(x^2)\, dx$.

Oblicz $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$.

Oblicz $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$. (Wskazówka: obserwuj granice po podstawieniu.)

Oblicz $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$.

Spróbuj obliczyć $\int \sec^3 x\, dx$ przez podstawienie. Zidentyfikuj dlaczego proste podstawienie zawodzi tutaj, i napisz odpowiedź (która wymaga całkowania przez części, Lekcja 85).

Wykaż, że $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ gdzie $F' = f$ i $a \neq 0$.

Pojazd ma przyspieszenie $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s², startując ze spoczynku ($v(0) = 0$). Znajdź $v(t)$ używając podstawienia i oblicz prędkość w $t = 4$ s.