Lição 85 — Integração por partes

Oblicz $\int x e^x\, dx$.

Oblicz $\int x \sin x\, dx$.

Oblicz $\int x \cos x\, dx$.

Oblicz $\int \ln x\, dx$.

Oblicz $\int x^2 e^x\, dx$. Zastosuj części dwa razy lub użyj metody tabelarycznej.

Oblicz $\int x^2 \sin x\, dx$.

Oblicz $\int x^2 \cos x\, dx$.

Oblicz $\int x \ln x\, dx$.

Oblicz $\int x^2 \ln x\, dx$.

Oblicz $\int \arctan x\, dx$.

Oblicz $\int \arcsin x\, dx$.

Oblicz $\int x e^{2x}\, dx$.

Oblicz $\int x \cdot 2^x\, dx$.

Oblicz $\int x e^{-x}\, dx$.

Oblicz $\int (\ln x)^2\, dx$. Zastosuj części dwa razy.

Oblicz $\int e^x \cos x\, dx$.

Oblicz $\int e^x \sin x\, dx$.

Oblicz $\int e^{2x} \cos(3x)\, dx$.

Oblicz $\int e^{-x} \sin(2x)\, dx$.

Oblicz $\int \cos x \ln(\sin x)\, dx$.

Oblicz $\int \sec^3 x\, dx$.

Oblicz $\int \csc^3 x\, dx$.

Oblicz $\int_0^1 x e^x\, dx$.

Oblicz $\int_0^\pi x \sin x\, dx$.

Oblicz $\int_1^e \ln x\, dx$.

Oblicz $\int_0^{\pi/2} x \cos x\, dx$.

Oblicz $\int_0^1 \arctan x\, dx$.

Oblicz $\int_1^2 x^2 \ln x\, dx$.

Oblicz $\int_0^1 x e^{-x}\, dx$.

Oblicz $\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx$.

Praca wykonana przez siłę $F(x) = x e^{-x}$ N na długości $[0, 1]$ m. Oblicz $W = \int_0^1 F(x)\, dx$.

Ładunek elektryczny zgromadzony z prądem $i(t) = t\cos(\omega t)$. Oblicz $Q = \int_0^{2\pi/\omega} i(t)\, dt$.

Funkcja Gamma: oblicz $\Gamma(2) = \int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ i pokaż, że wynik wynosi $1$.

Oczekiwanie zmiennej wykładniczej: oblicz $E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ i pokaż, że wynik wynosi $1/\lambda$.

Wariancja rozkładu wykładniczego: oblicz $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ i wyznacz $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

Współczynnik Fouriera $a_n = (1/\pi)\int_{-\pi}^\pi x\cos(nx)\, dx$. Wyznacz $a_n$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$.

Transformacja Laplace'a $t$: pokaż, że $\mathcal{L}\{t\}(s) = \int_0^\infty t e^{-st}\, dt = 1/s^2$ dla $s > 0$.

Wartość bieżąca rosnącego dochodu $C(t) = t$ (w tysiącach reali na rok) ze stopą dyskonta $r$ ciągłą na $[0, T]$. Oblicz $VP = \int_0^T t e^{-rt}\, dt$.

Oblicz $\int x^3 e^{-x^2}\, dx$. Wskazówka: najpierw podstaw $u = x^2$, potem zastosuj części.

Oblicz $\int e^{\sqrt{x}}\, dx$. Wskazówka: podstaw $u = \sqrt{x}$, potem zastosuj części.

Pokaż przez indukcję, że $\int_0^\infty x^n e^{-x}\, dx = n!$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 0$, używając całkowania przez części w kroku indukcyjnym.

Niech $I_n = \int x^n e^x\, dx$. Pokaż, że $I_n = x^n e^x - n I_{n-1}$ i użyj wzoru do obliczenia $I_3$.

Wyprowadź wzór redukcyjny $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\, dx$ i zastosuj do obliczenia $\int \sin^4 x\, dx$.

Dowód. Udowodnij wzór $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ wychodząc od reguły iloczynu dla pochodnych i Zasadniczego Twierdzenia Rachunku Całkowego.

Dowód (nieformalny). Uzasadnij dlaczego LIATE jest efektywną heurystyką: przeanalizuj jak każdy typ funkcji zachowuje się przy różniczkowaniu i wyjaśnij dlaczego Log i Inv-trig są priorytetowymi kandydatami dla $u$.