v1 · padrão canônico

Lição 86 — Integrals de funções racionais (frações parciais)

Decomposição P(x)/Q(x) em soma de frações simples. Raízes reais simples, multiplicidade e quadrático irredutível. Reduz a integrais elementares em ln ou arctan.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Twierdzenie, procedura i przypadki

Twierdzenie rozkładu na ułamki proste

Definition· Rozkład na ułamki proste nad ℝ

Niech $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ ze $\deg P < \deg Q$ , i niech

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

będzie pełnym rozkładem $Q$ nad $\mathbb{R}$ (gdzie $p_j^2 - 4q_j < 0$ — nieredukowalne czynniki kwadratowe). Wówczas istnieje rozkład jednoznaczny:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"Zawsze możemy zapisać integrand jako sumę prostszych funkcji wymiernych, używając metody rozkładu na ułamki proste. Idea polega na rozkładzie funkcji wymiernej na sumę prostszych części, z których każda jest łatwiejsza do całkowania." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

Procedura

Definition· Algorytm całkowania przez ułamki proste

Sprawdzić stopień: jeśli $\deg P \geq \deg Q$ , wykonaj najpierw dzielenie wielomianów: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ ze $\deg R < \deg Q$ .
Rozłóż $Q(x)$ całkowicie nad $\mathbb{R}$ .
Napisz formę ogólną ze stałymi $A_{i,k}$ , $B_{j,l}$ , $C_{j,l}$ .
Określ stałe:
- Cover-up (pierwiastki proste): podstaw $x = r_i$ bezpośrednio.
- Współczynniki: rozwiń i przyrównaj stopień za stopniem.
- Pochodne (wysokie pierwiastki wielokrotne): zróżniczkuj tożsamość liczników.
Całkuj każdy wyraz zgodnie z regułami:

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

what this means · Integral de fração com raiz simples — resulta em logaritmo natural.

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

what this means · Integral de fração com raiz repetida de multiplicidade k maior que 1.

Dla nieredukowalnego kwadratu $(x^2 + px + q)$ ze $p^2 - 4q < 0$ : uzupełnij kwadrat $(x + p/2)^2 + \beta^2$ i rozłóż licznik $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ . Pierwszy wyraz całkuje się w $\ln$ a drugi w $\arctan$ .

"Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, funkcja wymierna nazywa się właściwa i rozkład na ułamki proste działa bezpośrednio. Jeśli nie, wykonaj najpierw dzielenie wielomianów, aby sprowadzić do ułamka właściwego." — APEX Calculus §6.5

Formuła Heaviside'a

Dla pierwiastków prostych $r_1, \ldots, r_n$ liczby $Q$ :

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

what this means · Fórmula direta dos resíduos para raízes simples — resultado do cover-up.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Pierwiastki proste — cover-up (podstawowy)

Problem. Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Strategia. Rozłoż mianownik na pierwiastki proste, zastosuj cover-up, całkuj każdy $\ln$ .

Rozwiązanie.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Rozkład: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ .

Mnożymy przez $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

Cover-up: $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

Weryfikacja. Zróżniczkowując wynik: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ . Poprawnie.

Źródło. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Pierwiastek wielokrotności 2 (pośredni)

Problem. Oblicz $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .

Strategia. Czynnik z wielokrotnością 2: dwa wyrazy w rozkładzie.

Rozwiązanie.

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ .

Mnożymy przez $(x-2)^2$ : $x + 1 = A(x-2) + B$ .

W $x = 2$ : $3 = B$ . Współczynnik $x$ : $1 = A$ . Dlatego $A = 1$ , $B = 3$ .

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

Weryfikacja. Zróżniczkuj $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ : $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ . Poprawnie.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Nieredukowalny kwadrat (pośredni)

Problem. Oblicz $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .

Strategia. Czynnik liniowy + nieredukowalny czynnik kwadratowy.

Rozwiązanie.

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ .

Mnożymy przez $(x^2+1)(x-1)$ : $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ .

W $x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ .

Współczynnik $x^2$ : $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ .

Współczynnik $x^0$ : $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ .

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Weryfikacja. Zróżniczkowanie wyniku potwierdza integrand (algebra).

Źródło. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC.

Example— 4· Wysoki stopień — najpierw dzielenie wielomianów (pośredni)

Problem. Oblicz $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Strategia. $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ : najpierw podziel.

Rozwiązanie.

Dzielenie: $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ .

Ułamki proste $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ (bezpośrednie uproszczenie).

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

Weryfikacja. Zróżniczkowując: $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ . Pomnóż przez $(x+1)/(x+1)$ : $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ . Poprawnie.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Równanie logistyczne — ułamki proste w EDO (wyzwanie)

Problem. Rozwiąż $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ używając ułamków prostych (krok kluczowy w rozwiązaniu równania logistycznego).

Strategia. Przepisz mianownik jako iloczyn; cover-up; całkuj.

Rozwiązanie.

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ .

Rozkład: $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ .

Mnożymy: $K = A(K-N) + BN$ .

$N = 0$ : $K = AK \Rightarrow A = 1$ . $N = K$ : $K = BK \Rightarrow B = 1$ .

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

Przyrównując do $rt + C_1$ i potęgując: $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ , skąd $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ .

Weryfikacja. Potwierdź, że $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ spełnia $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ (bezpośrednie zróżniczkowanie).

Źródło. Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 25Modeling 4Challenge 3Proof 2 1

Ex. 86.1Application
Rozłóż $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.2Application
Rozłóż $\dfrac{1}{x(x+1)}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.3Application
Rozłóż $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.4Application
Rozłóż $\dfrac{2x + 1}{x^2 - x - 6}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.5Application
Rozłóż $\dfrac{1}{x^3 - x}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.6ApplicationAnswer key
Rozłóż $\dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.7Application
Rozłóż $\dfrac{1}{x^2(x + 1)}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.8Application
Pokaż, że $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ jest już ułamkiem prostym (mianownik nieredukowalny kwadrat) i oblicz jego całkę.
Solve online
Ex. 86.9ApplicationAnswer key
Rozłóż $\dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}$ na ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.10ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.11Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{x(x+1)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.12ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.13Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.14Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 - 9}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.15ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \dfrac{x + 4}{x^2 + 5x + 6}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.16Application
Oblicz $\int \dfrac{3}{x^2 + x - 2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.17ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^3 - x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.18Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{(x - 1)^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.19Application
Oblicz $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.20Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2(x + 1)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.21ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 + 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.22Application
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.23Application
Oblicz $\int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.24Application
Oblicz $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.25Answer key
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^4 - 1}\, dx$ . Wskazówka: rozłóż na $(x^2-1)(x^2+1)$ .
Solve online
Ex. 86.26Application
Oblicz $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ . Podziel najpierw.
Solve online
Ex. 86.27Modeling
Równanie logistyczne $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ . Rozdziel i całkuj $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ , aby znaleźć $N(t)$ .
Solve online
Ex. 86.28Modeling
Laplace wsteczna: dany $H(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ , użyj ułamków prostych, aby znaleźć $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ .
Solve online
Ex. 86.29Modeling
Rozkład Cauchy'ego: określ stałą $c$ taką, że $f(x) = c/(1+x^2)$ jest gęstością prawdopodobieństwa na $\mathbb{R}$ .
Solve online
Ex. 86.30Modeling
Reakcja chemiczna $\dot{c} = k(a - c)(b - c)$ z $a \neq b$ . Rozdziel i całkuj poprzez ułamki proste.
Solve online
Ex. 86.31Challenge
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^4 + 1}\, dx$ . Wskazówka: rozłóż na $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$ .
Solve online
Ex. 86.32Challenge
Oblicz $\int \dfrac{1}{x^3 + 1}\, dx$ . Najpierw rozłóż mianownik.
Solve online
Ex. 86.33Challenge
Oblicz $\int \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.34Proof
Dowód. Udowodnij formułę Heaviside'a $A_i = P(r_i)/Q'(r_i)$ dla pierwiastków prostych $r_i$ liczby $Q$ .
Solve online
Ex. 86.35Proof
Dowód. Udowodnij, że rozkład na ułamki proste jest jednoznaczny dla $P/Q$ ze $\deg P < \deg Q$ .
Solve online

Źródła

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5. Źródło główne.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5.