Lição 88 — Área entre curvas

Oblicz pole między $y = x$ i $y = x^2$ na $[0, 1]$.

Oblicz pole między $y = x^2$ i $y = 2x$.

Oblicz pole między $y = \sqrt{x}$ i $y = x$ na $[0, 1]$.

Oblicz pole między $y = x^2$ i $y = x^3$ na $[0, 1]$.

Oblicz pole między $y = \sin x$ i osią $x$ na $[0, \pi]$.

Oblicz pole między $y = \cos x$ i osią $x$ na $[0, \pi]$.

Oblicz pole między $y = e^x$ i $y = e^{-x}$ na $[0, 1]$.

Oblicz pole między $y = \ln x$ i osią $x$ na $[1, e]$.

Oblicz pole między $y = \sin x$ i $y = \cos x$ na $[0, \pi/2]$.

Oblicz pole między $y = x^2 - 1$ i $y = 1 - x^2$.

Oblicz pole między $y = x^3$ i $y = x$ na $[-1, 1]$.

Oblicz pole między $y = x^2 - 4x + 3$ i osią $x$ na $[0, 4]$.

Oblicz pole między $x = y^2$ i $x = y$ na $[0, 1]$ (względem $y$).

Oblicz pole między $x = y^2$ i $x = 4$ (całkuj względem $y$).

Oblicz pole między $x = y^2 - 2$ i $x = y$ (całkuj względem $y$).

Oblicz pole między $y = 4 - x^2$ i $y = x + 2$.

Oblicz pole między $y = x^4$ i $y = 8x$.

Korzystając z wyniku ćwiczenia 88.9, ustal pole między $y = \sin x$ i $y = \cos x$ na $[0, \pi/2]$ weryfikując symetrię dwóch części.

Krzywa popytu $D(q) = 100 - q$, cena równowagi $p^* = 60$. Oblicz nadwyżkę konsumenta $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$.

Krzywa podaży $S(q) = 20 + q/2$, cena równowagi $p^* = 40$. Oblicz nadwyżkę producenta $PS = \int_0^{Q^*} [p^* - S(q)]\, dq$.

Przychód krańcowy $R'(t) = 100$ R$/dzień i koszt krańcowy $C'(t) = 50 + 5t$ R$/dzień. Oblicz maksymalny skumulowany zysk netto i w którym dniu $t$ koszt przewyższa przychód.

Oblicz pole elipsy $x^2/9 + y^2/4 = 1$ poprzez $A = 4\int_0^3 (2/3)\sqrt{9 - x^2}\, dx$.

Oblicz pole między parabolą $y = x^2$ i jej linią styczną w punkcie $(1, 1)$ na $[0, 2]$.

Oblicz pole między $y = 1/(1+x^2)$ i $y = 1/2$, w obszarze gdzie pierwsza jest wyżej.

Oblicz całkowite pole między $y = x^3 - 4x$ i osią $x$ na $[-2, 2]$.

Porównaj dwa podejścia do pola między $y = x^2$ i $y = 4$: całkowanie względem $x$ i względem $y$. Oblicz obydwoma sposobami i sprawdź że się zgadzają.

Oblicz pole kardioid $r = 1 + \cos\theta$ we współrzędnych biegunowych: $A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2\, d\theta$.

Pole między $y = e^{-x^2}$ i osią $x$ na $(-\infty, +\infty)$. Wynik to $\sqrt{\pi}$ — pokaż że ta całka nie ma formy elementarnej, ale może być obliczona dzięki trickowi całki gaussowskiej we współrzędnych biegunowych.

Dowód. Pokaż że $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$ jest granicą sum Riemanna z prostokątami pionowymi o wysokości $f(x_i^*) - g(x_i^*)$.

Dowód. Sprawdź formułę Green $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial R}(x\, dy - y\, dx)$ dla kwadratu jednostkowego $[0,1]^2$ obliczając całkę liniową wzdłuż każdej krawędzi.