Lição 89 — Volume por fatiamento: discos, anéis e cascas cilíndricas

Obrót $y = \sqrt{x}$ w $[0, 4]$ wokół osi $x$. Oblicz objętość.

Obrót $y = x$ w $[0, 1]$ wokół osi $x$. Oblicz objętość (jest stożkiem).

Obrót $y = x^2$ w $[0, 2]$ wokół osi $x$. Oblicz objętość.

Obrót $y = \sin x$ w $[0, \pi]$ wokół osi $x$. (Wskazówka: $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$.)

Obrót $y = e^x$ w $[0, 1]$ wokół osi $x$.

Obrót $y = \cos x$ w $[0, \pi/2]$ wokół osi $x$.

Pokaż, że objętość kuli o promieniu $r$ to $4\pi r^3/3$, używając $V = \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\,dx$.

Pokaż, że objętość stożka o promieniu $R$ i wysokości $h$ to $\pi R^2 h/3$, obracając $y = (R/h)x$ w $[0, h]$.

Obrót $y = 1/x$ w $[1, 2]$ wokół osi $x$.

Obrót $y = \sqrt{4 - x^2}$ w $[-2, 2]$ wokół osi $x$. (Zidentyfikuj wynikową bryłę.)

Pierścień: region między $y = x$ i $y = x^2$ w $[0, 1]$, obrócony wokół osi $x$.

Pierścień: region między $y = \sqrt{x}$ i $y = x$ w $[0, 1]$, obrócony wokół osi $x$.

Pierścień: region między $y = 2x$ i $y = x^2$ w $[0, 2]$, obrócony wokół osi $x$.

Pierścień: region między $y = x^2 + 1$ i $y = 5 - x^2$, obrócony wokół osi $x$.

Region między $y = x$ i $y = x^2$ w $[0, 1]$, obrócony wokół $y = -1$ (oś przesunięta).

Jaka jest objętość generowana przez obrót regionu między $y = 1$ i $y = x$ w $[0, 1]$ wokół osi $x$?

Region między $y = x^2$ i $y = x$ w $[0, 1]$, obrócony wokół $x = 2$.

Dętucha rowerowa może być modelowana jako torus o promieniu centralnym $R = 30$ cm i kołowym przekroju o promieniu $r = 2$ cm. Oblicz wewnętrzną objętość dętuchy (w cm³) za pomocą Twierdzenia Pappusa.

Region prostokątny $[0, h] \times [0, R]$ jest obrócony wokół osi $x$. Zidentyfikuj wynikową bryłę i oblicz objętość.

Do obliczenia objętości generowanej przez obrót $y = f(x)$, $x \in [a,b]$, wokół osi $y$, całkując w $x$, która metoda jest bardziej naturalna?

Obrót $y = x^2$ w $[0, 2]$ wokół osi $y$ (powłoki).

Region między $y = x$ i $y = x^2$ w $[0,1]$, obrócony wokół osi $y$ (powłoki).

Obrót $y = \sqrt{x}$ w $[0, 1]$ wokół osi $y$ (powłoki).

Region między $y = x$ i $y = x^2$ w $[0,1]$, obrócony wokół $x = 2$.

Obrót $y = e^{-x^2}$ w $[0, 1]$ wokół osi $y$ (powłoki). (Wskazówka: podstawienie $u = x^2$.)

Która całka reprezentuje objętość generowaną przez obrót $y = \cos x$, $x \in [0, 1]$, wokół osi $y$ (powłoki)?

Obrót $y = 1/x$ w $[1, 3]$ wokół osi $y$ (powłoki).

Obrót $y = \sin x$ w $[0, \pi]$ wokół osi $y$ (powłoki). (Wskazówka: całkowanie przez części.)

Region między $y = x^2$ i $y = x^3$ w $[0, 1]$, obrócony wokół $x = 1$.

Oblicz objętość regionu ograniczonego przez $y = x^2$ i $y = 4$, obróconym wokół osi $y$, używając dwóch metod (dyski w $y$ i powłoki w $x$). Potwierdź, że wyniki się zgadzają.

Bryła ma podstawę na przedziale $[0, \pi]$ na osi $x$, z kwadratowymi przekrojami poprzecznymi prostopadłymi do osi $x$. Bok każdego kwadratu to $f(x) = \sin x$. Oblicz objętość.

Bryła ma podstawę $[0, 4]$ na osi $x$, z półkolistymi przekrojami poprzecznymi prostopadłymi do osi $x$. Średnica każdego półkoła to $y = \sqrt{x}$. Oblicz objętość.

Pokaż, poprzez fatiowanie, że objętość piramidy o podstawie $A_0$ i wysokości $h$ to $A_0 h/3$, niezależnie od kształtu podstawy.

Zbiornik sferyczny o promieniu $R = 3$ m, pełny wody. Oblicz pracę potrzebną do pompowania całej wody na szczyt (w Dżulach). Użyj $\rho = 1000$ kg/m³ i $g = 9{,}8$ m/s².

O wyborze między dyskiem/pierścieniem a powłokami cylindrycznymi, które stwierdzenie jest poprawne?

Ozdobny wazon ma profil generowany przez obrót $x = \sqrt{y}$ (cm) wokół osi $y$, dla $y \in [0, 20]$ cm. Oblicz pojemność wazonu w mL ($1$ cm³ $= 1$ mL).

Wyprowadź wzór $V = 2\pi^2 R r^2$ torusa metodą pierścieni, bez użycia Twierdzenia Pappusa.

Paradoks Gabriel's Horn. Rozważ powierzchnię generowaną przez obrót $y = 1/x$, $x \in [1, +\infty)$, wokół osi $x$. (a) Oblicz objętość bryły. (b) Pokaż, że pole boczne jest nieskończone. (c) Zinterpretuj paradoks.

Region między $y = x^2$ i $y = 1$, obrócony wokół $y = 1$. Oblicz objętość (pierścień z przesunięta osią).

Obrót $y = x^2 + 1$ w $[0, 3]$ wokół osi $y$ (powłoki).

Region między $y = e^x$ i $y = x$ w $[0, 1]$, obrócony wokół osi $x$ (pierścienie).

Zbiornik półsferyczny o promieniu $R = 2$ m (średnica skierowana do góry) zawiera wodę do $h = 1$ m głębokości. Oblicz objętość wody (w m³).

Region między $y = \cos x$ i $y = \sin x$ w $[0, \pi/2]$, obrócony wokół osi $x$. (Uwaga: krzywe się przecinają w $x = \pi/4$.)

Obrót $y = \sin(x^2)$ w $[0, \pi]$ wokół osi $y$ (powłoki). (Wskazówka: podstawienie $u = x^2$.)

Trójkąt o wierzchołkach $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ jest obrócony wokół linii $x = 2$. Oblicz objętość za pomocą Twierdzenia Pappusa. Sprawdź całkując bezpośrednio.