v1 · padrão canônico

Lição 90 — Consolidação Trim 9 (cálculo integral)

Workshop integrador: antiderivada, integral definida, TFC, substituição, partes, frações parciais, integrais trig, área e volume.

Used in: 3.º ano do EM (17–18 anos) · Equiv. Math III japonês (cap. 5–6) · Equiv. Leistungskurs alemão Integralrechnung II

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \int u\,dv = uv - \int v\,du, \quad A = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Rygorystyczne podsumowanie trymestru

Mapa pojęciowa rachunku całkowego

Theorem· Fundamentalne Twierdzenie Rachunku Całkowego (FTC1 i FTC2)

Niech $f$ będzie ciągła na $[a, b]$ .

FTC1. Funkcja $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ jest różniczkowalna na $(a, b)$ i $G'(x) = f(x)$ .

FTC2. Jeśli $F$ jest dowolną funkcją pierwotną $f$ na $[a, b]$ , to

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

Dowód FTC2 z FTC1. Ponieważ $G'(x) = f(x) = F'(x)$ , mamy $G(x) = F(x) + C$ dla pewnej stałej $C$ . Obliczając w $x = a$ : $G(a) = 0$ implikuje $C = -F(a)$ . Stąd $G(x) = F(x) - F(a)$ . W $x = b$ : $\int_a^b f(t)\,dt = G(b) = F(b) - F(a)$ .

Drzewo decyzyjne — "Którą technikę zastosować?"

Przepływ decyzji do całkowania $\int f\,dx$ . Postępuj od góry do dołu; zastosuj pierwszą technikę, która pasuje.

Szybka tabela funkcji pierwotnych podstawowych

Zastosowania kanoniczne

Definition· Pole i objętość przez całkowanie

Pole między krzywymi. Jeśli $f(x) \geq g(x)$ na $[a, b]$ :

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

Objętość przez dyski/pierścienie. Obrót $y = f(x)$ wokół osi $x$ :

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

Dla pierścienia (obszar między $f$ i $g$ , $f \geq g \geq 0$ ):

$V = \pi \int_a^b \bigl([f(x)]^2 - [g(x)]^2\bigr)\,dx$

Objętość przez powłoki cylindryczne. Obrót $y = f(x) \geq 0$ wokół osi $y$ :

$V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$

"Metoda powłok cylindrycznych jest preferowana gdy obszar obraca się wokół osi równoległej do osi całkowania." — APEX Calculus §7.3, p. 359

Przykłady rozwiązane

Example— 1· FTC2 zastosowany z podstawieniem w limitach (zastosowanie)

Problem: Oblicz $\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ .

Strategia: Całka ma postać $f(g(x)) \cdot g'(x)$ z $g(x) = x^2$ i $g'(x) = 2x$ . Zastosuj podstawienie $u = x^2$ i zmień limity całkowania bezpośrednio na $u$ .

Rozwiązanie:

Niech $u = x^2$ , wtedy $du = 2x\,dx$ .

Limity: $x = 0 \Rightarrow u = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow u = 1$ .

$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

Weryfikacja: Funkcja pierwotna $2x e^{x^2}$ to $e^{x^2}$ (różniczkując: $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$ ✓). Obliczając: $e^{1^2} - e^{0^2} = e - 1 \approx 1{,}718$ .

Źródło. Active Calculus §5.3, Activity 5.3.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Całkowanie przez części iterowane — xe^x (średniozaawansowane)

Problem: Oblicz $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ .

Strategia: Iloczyn wielomianu i exponenty, bez relacji łańcucha między nimi. Użyj całkowania przez części z LIATE: $u = x^2$ (algebraiczna) i $dv = e^x\,dx$ (exponencjalna). Będzie potrzebne zastosowanie przez części dwa razy.

Rozwiązanie:

1. zastosowanie: $u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$

2. zastosowanie (dla $\int 2x e^x\,dx$ ): $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int 2x e^x\,dx = 2x e^x - \int 2 e^x\,dx = 2x e^x - 2e^x$

Wynik końcowy:

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

Weryfikacja: $\frac{d}{dx}\bigl[(x^2 - 2x + 2)e^x\bigr] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x$ ✓.

Źródło. APEX Calculus §8.1, Example 8.1.4 — CC-BY-NC.

Example— 3· Rozkład na ułamki proste — mianownik z dwoma liniowymi faktorami (średniozaawansowane)

Problem: Oblicz $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$ .

Strategia: Całka jest wymierna z $\deg(\text{licznik}) < \deg(\text{mianownik})$ . Rozkład mianownika: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Rozkład na ułamki proste.

Rozwiązanie:

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Mnożyć obie strony przez $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

$x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1$ : $1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1/2}{x-1}\,dx + \int \frac{-1/2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$

$= \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C$

Weryfikacja: Różniczkując: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x^2-1}$ ✓.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2 §3.4, Example 3.4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Pole między parabolą i linią (zastosowanie)

Problem: Oblicz pole obszaru ograniczonego przez $f(x) = x^2$ i $g(x) = x + 2$ .

Strategia: Znajdź przecięcia (punkty gdzie $f = g$ ), określ która krzywa jest powyżej w każdym podprzedziale, i całkuj różnicę.

Rozwiązanie:

Przecięcia: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$ lub $x = 2$ .

Co jest „wyżej"? Dla $x \in (-1, 2)$ : $g(0) = 2 > f(0) = 0$ , stąd $g \geq f$ .

$A = \int_{-1}^2 [g(x) - f(x)]\,dx = \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2)\,dx$

$= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2 = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Weryfikacja: $9/2 = 4{,}5$ jednostek kwadratowych. Parabola i linia formują kroplę — wynik rozsądny dla przedziału długości 3.

Źródło. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Objętość obrotu metodą powłok (zaawansowane)

Problem: Oblicz objętość bryły generowanej przez obrót obszaru ograniczonego przez $y = \ln x$ , $y = 0$ i $x = e$ wokół osi $y$ .

Strategia: Obszar jest na prawo od osi $y$ . Obrót wokół osi $y$ z całkowaniem po $x$ sugeruje metodę powłok cylindrycznych: $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ .

Rozwiązanie:

Bryła idzie od $x = 1$ (bo $\ln 1 = 0$ ) do $x = e$ .

$V = 2\pi \int_1^e x \ln x\,dx$

Zastosuj całkowanie przez części: $u = \ln x$ , $dv = x\,dx$ ; $du = dx/x$ , $v = x^2/2$ .

$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

Obliczając:

$\int_1^e x \ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

$V = 2\pi \cdot \frac{e^2 + 1}{4} = \frac{\pi(e^2 + 1)}{2} \approx \frac{\pi \cdot 8{,}389}{2} \approx 13{,}18$

Weryfikacja: Dla $x \in [1, e]$ , powłoka ma promień $x$ i wysokość $\ln x$ . Wynik ma poprawny wymiar (jednostka³). $\approx 13{,}18$ jest rozsądne dla tego obszaru.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 2 §2.3, Example 2.3.4 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 4Modeling 3Challenge 4Proof 4

Ex. 90.1Application
Oblicz $\int (6x^2 - 5)\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.2Application
Oblicz $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x)\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.3ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.4Application
Oblicz $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.5ApplicationAnswer key
Niech $G(x) = \displaystyle\int_1^x (t^2 - 3t)\,dt$ . Wyznacz $G'(x)$ .
Solve online
Ex. 90.6Understanding
Jaka jest ogólna funkcja pierwotna $f(x) = 3x^2$ ?
Solve online
Ex. 90.7Application
Oblicz $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.8ProofAnswer key
Udowodnij FTC2 zakładając FTC1 jako punkt wyjścia.
Solve online
Ex. 90.9Application
Oblicz $\int (x^3 + 1)^4 \cdot x^2\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.10ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.11Application
Oblicz $\displaystyle\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.12Application
Oblicz $\int \sin(e^x)\,e^x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.13Application
Oblicz $\int \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.14Understanding
Dla $\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ , które podstawienie jest odpowiednie?
Solve online
Ex. 90.15Application
Oblicz $\int \sin^3 x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.16Application
Oblicz $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$ używając podstawienia trygonometrycznego $x = \sin\theta$ .
Solve online
Ex. 90.17Application
Oblicz $\int x e^x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.18ApplicationAnswer key
Oblicz $\int \ln x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.19Application
Oblicz $\int \arctan x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.20Application
Oblicz $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.21Application
Oblicz $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - x - 2}\,dx$ . (Najpierw rozkład mianownika.)
Solve online
Ex. 90.22Application
Oblicz $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 - 4}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.23Application
Oblicz $\int x^2 \cos x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.24Challenge
Oblicz $\int e^x \sin x\,dx$ używając sztuczki całki która "wróciła do siebie".
Solve online
Ex. 90.25Proof
Udowodnij wzór całkowania przez części $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ od reguły iloczynu.
Solve online
Ex. 90.26Application
Oblicz pole obszaru ograniczonego przez $y = x + 2$ i $y = x^2$ .
Solve online
Ex. 90.27Application
Oblicz pole między $y = \sin x$ i $y = \cos x$ w $[0, \pi]$ .
Solve online
Ex. 90.28Application
Oblicz objętość bryły generowanej przez obrót $y = e^{-x}$ , $x \in [0, 2]$ , wokół osi $x$ .
Solve online
Ex. 90.29Application
Oblicz objętość bryły między $y = x$ i $y = x^2$ ( $x \in [0,1]$ ) obróconej wokół osi $x$ .
Solve online
Ex. 90.30Application
Oblicz objętość bryły generowanej przez $y = 1 - x^2$ , $x \in [0, 1]$ , obróconej wokół osi $y$ metodą powłok cylindrycznych.
Solve online
Ex. 90.31ModelingAnswer key
Oblicz objętość generowaną przez $y = \ln x$ , $x \in [1, e]$ , obróconą wokół osi $y$ (powłoki). Połącz przez części i podstawienie.
Solve online
Ex. 90.32Understanding
Kiedy wolisz używać powłok cylindrycznych zamiast dysków do obliczania objętości?
Solve online
Ex. 90.33Modeling
Oblicz pole między $y = x$ i $y = x^3$ w $[-1, 1]$ .
Solve online
Ex. 90.34ModelingAnswer key
Siła na tłok to $F(x) = xe^{-x}$ N dla $x \in [0, 5]$ m. Oblicz pracę wykonaną.
Solve online
Ex. 90.35Challenge
Trąbka Gabriela: $y = 1/x$ w $[1, \infty)$ obracana wokół osi $x$ . Pokaż że objętość to $\pi$ i omów dlaczego pole powierzchni jest nieskończone.
Solve online
Ex. 90.36ProofAnswer key
Pokaż że $\displaystyle\int_0^1 (1-x)^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}$ dla $n \in \mathbb{N}$ używając podstawienia.
Solve online
Ex. 90.37Proof
Pokaż że $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2(nx)\,dx = \dfrac{\pi}{2}$ dla wszystkich $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 90.38ChallengeAnswer key
Udowodnij (szkicując ideę ze współrzędnymi biegunowymi) że $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ .
Solve online
Ex. 90.39Understanding
Całka $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$ : zbieża czy rozbieża?
Solve online
Ex. 90.40ChallengeAnswer key
Oblicz $\displaystyle\int_0^1 x \arctan x\,dx$ .
Solve online

Źródła

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1–4.4, §5.1–6.2. Źródło pierwotne.
Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1–3.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · cap. 5–8.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$x^{-1}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$