v1 · padrão canônico

Урок 1 — Числовые множества, интервалы, обозначения

Строгий математический язык: числовые множества (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), интервалы, операции над множествами. Открывающий урок программы.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Строгое определение

Фундаментальные числовые множества

Definition· Иерархия вещественных чисел

Натуральные $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ . (Бразильское соглашение включает ноль; французское соглашение — исключает.)
Целые $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ — замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения.
Рациональные $\mathbb{Q} = \{p/q \mid p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z}_{\neq 0}\}$ — всякое число, выражаемое как отношение целых.
Вещественные $\mathbb{R}$ — заполняют числовую ось (заполняют "дыры" вроде $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ ).

"Любое вещественное число соответствует единственной позиции на числовой прямой. Верно и обратное: каждое место на числовой прямой соответствует ровно одному вещественному числу." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Definition· Рациональные и иррациональные числа

"Множество рациональных чисел записывается как $\lbrace m/n \mid m \text{ и } n \text{ — целые и } n \neq 0 \rbrace$ . Из определения видно, что рациональные числа — это дроби (или частные) с целыми числителем и знаменателем, и знаменатель никогда не равен 0." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

"Такие числа называют иррациональными, потому что они не могут быть записаны как дроби. Эти числа составляют множество иррациональных чисел." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Интервалы

Definition· Типы интервалов

Для $a, b \in \mathbb{R}$ с $a \leq b$ :

Четыре типа интервала на числовой прямой. Заполненная точка = конец включен. Пустая точка = конец исключен.

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}

what this means · Закрытый интервал: оба конца включены.

(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}

what this means · Открытый интервал: ни один конец не включен.

[a, b) = \{x : a \leq x \lt b\}, \quad (a, b] = \{x : a \lt x \leq b\}

what this means · Полуоткрытые интервалы.

Бесконечные интервалы: $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Решённые примеры

Example— 1· Перечисление элементов множества (применение)

Задача: Перечислите в нотации множества множество $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ .

Стратегия: Задача требует перечислить элементы множества. Нотация множества даёт нам две информации:

К какому числовому множеству принадлежат элементы: $\mathbb{Z}$ (целые числа).
Какие условия должны удовлетворять эти элементы: $-2 < x \leq 3$ . Мы должны объединить эти информации, чтобы выявить все целые числа, которые подходят.

Решение:

Определить тип числа: Элементы $x$ должны быть целыми ( $\mathbb{Z}$ ).
Анализировать первое условие: $x > -2$ . Это означает, что $x$ должно быть больше $-2$ . Целые числа, которые удовлетворяют этой части, это $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ .
Анализировать второе условие: $x \leq 3$ . Это означает, что $x$ должно быть меньше или равно $3$ . Целые числа, которые удовлетворяют этой части, это $\ldots, 1, 2, 3$ .
Объединить условия: Нам нужны целые $x$ $x$ , которые одновременно больше $-2$ $- 2$ И меньше или равны $3$ $3$ .
- Целые, большие чем $-2$ : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- Целые, меньшие или равные $3$ : $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- Пересечение этих двух множеств это $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Проверка: Все перечисленные числа целые.

$-1$ больше чем $-2$ и меньше или равно $3$ . (OK)
$0$ больше чем $-2$ и меньше или равно $3$ . (OK)
$1$ больше чем $-2$ и меньше или равно $3$ . (OK)
$2$ больше чем $-2$ и меньше или равно $3$ . (OK)
$3$ больше чем $-2$ и меньше или равно $3$ . (OK) Ни одно другое целое число между $-2$ и $3$ (исключая $-2$ , включая $3$ ) не было опущено.

Источник. OpenStax — College Algebra 2e §1.1 — лицензия CC-BY 4.0.

Example— 2· Пересечение интервалов (промежуточный)

Задача: Даны интервалы $A = [-3, 7)$ и $B = (1, 10]$ , вычислите $A \cap B$ .

Стратегия: Пересечение двух множеств включает только элементы, которые принадлежат обоим множествам. Опять же, визуализация на числовой прямой — наиболее эффективный инструмент.

Решение:

Визуализировать интервал $A$ : $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ идёт от -3 (включен) до 7 (исключен).
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```
Визуализировать интервал $B$ : $B = (1, 10]$ $B = (1, 10]$ идёт от 1 (исключен) до 10 (включен).
```
←——————————(----------]————→
           1          10
```
Объединить для пересечения: Нам нужно найти область, где два интервала перекрываются.
- Самая левая точка, где оба присутствуют: $1$ . Но $1$ исключен в $B$ , поэтому он исключен в пересечении.
- Самая правая точка, где оба присутствуют: $7$ . Но $7$ исключен в $A$ , поэтому он исключен в пересечении.
- Область перекрытия находится между $1$ (исключен) и $7$ (исключен).

$A \cap B = (1, 7)$

Проверка:

Точка в пересечении: $x=3$ . Находится в $A$ (поскольку $-3 \leq 3 < 7$ ) и в $B$ (поскольку $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
Точка только в $A$ : $x=-2$ . Не находится в $B$ . (OK)
Точка только в $B$ : $x=8$ . Не находится в $A$ . (OK)
Концы: $1$ не находится в $B$ , $7$ не находится в $A$ . Оба исключены в пересечении. Ответ согласован.

Источник. Stitz–Zeager — Precalculus §1.2 — лицензия CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Неравенство с модулем, тип |u| ≤ c (промежуточный)

Задача: Решите неравенство $|x - 4| \leq 3$ и выразите решение в интервальной нотации.

Стратегия: Неравенства с абсолютной величиной вида $|u| \leq c$ (где $c > 0$ ) можно переписать как составное неравенство: $-c \leq u \leq c$ . Мы применим это свойство и затем решим для $x$ .

Решение:

Переписать неравенство: Свойство абсолютного значения позволяет нам преобразовать $|x - 4| \leq 3$ в: $-3 \leq x - 4 \leq 3$
Изолировать $x$ : Чтобы изолировать $x$ , добавим $4$ ко всем частям неравенства: $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
Выразить в интервальной нотации: Неравенство $1 \leq x \leq 7$ означает, что $x$ может быть любым вещественным числом между 1 и 7, включая 1 и 7.

$\text{Решение: } [1, 7]$

Проверка:

Проверить точку внутри интервала: $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
Проверить конец: $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Проверить другой конец: $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Проверить точку вне интервала: $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
Проверить точку вне интервала: $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) Решение верно.

Источник. OpenStax — College Algebra 2e §1.7 — лицензия CC-BY 4.0.

Example— 4· Квадратное неравенство (продвинутый)

Задача: Определите множество решений неравенства $x^2 - x - 6 > 0$ в интервальной нотации.

Стратегия: Для решения квадратного неравенства сначала найдём корни связанного квадратного уравнения ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Эти корни делят реальную прямую на интервалы. Затем тестируем точку в каждом интервале, чтобы увидеть, где неравенство удовлетворяется.

Решение:

Найти корни связанного уравнения: $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- Мы можем разложить уравнение: $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- Корни это $x = 3$ и $x = -2$ .
Разделить реальную прямую на интервалы: Корни $-2$ $- 2$ и $3$ $3$ делят реальную прямую на три интервала:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
Тестировать точку в каждом интервале:
- Интервал $(-\infty, -2)$ : Выберите $x = -3$ . $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . Поскольку $6 > 0$ , этот интервал удовлетворяет неравенству.
- Интервал $(-2, 3)$ : Выберите $x = 0$ . $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . Поскольку $-6 \not> 0$ , этот интервал не удовлетворяет неравенству.
- Интервал $(3, +\infty)$ : Выберите $x = 4$ . $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . Поскольку $6 > 0$ , этот интервал удовлетворяет неравенству.
Объединить интервалы, которые удовлетворяют: Решение — это объединение интервалов, где неравенство верно. Обратите внимание, что неравенство строго больше чем 0, поэтому корни не включены.

$\text{Решение: } (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Проверка:

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет вогнутость вверх (коэффициент $x^2$ положительный). Это означает, что значения функции положительны "вне" корней и отрицательны "между" корнями. Найденное решение согласуется с графиком параболы.

Источник. OpenStax — College Algebra 2e §3.6 — лицензия CC-BY 4.0.

Example— 5· Моделирование с исключением точки (реальное моделирование)

Задача: Датчик температуры работает корректно в окружающей среде, где температура $T$ (в Цельсиях) должна быть между $10\,°C$ (включительно) и $40\,°C$ (исключительно). Кроме того, по определённому требованию температура не может быть ровно $25\,°C$ . Выразите диапазон допустимой работы для $T$ как объединение интервалов.

Стратегия: Сначала определим базовый интервал работы. Затем удалим конкретную точку, которая не разрешена. Удаление одной точки из интервала может привести к двум несвязным интервалам.

Решение:

Определить базовый интервал: Температура должна быть между $10\,°C$ (включительно) и $40\,°C$ (исключительно). Это представляется интервалом $[10, 40)$ .
Определить точку для исключения: Температура не может быть $25\,°C$ .
Удалить точку из базового интервала: Число $25$ $25$ находится внутри интервала $[10, 40)$ $[10, 40)$ . При удалении $25$ $25$ интервал делится на две части:
- Все числа от $10$ (включительно) до $25$ (исключительно): $[10, 25)$ .
- Все числа от $25$ (исключительно) до $40$ (исключительно): $(25, 40)$ .
Выразить как объединение интервалов: Диапазон допустимой работы — это объединение этих двух несвязных интервалов.

$\text{Диапазон работы: } [10, 25) \cup (25, 40)$

Проверка:

$T=10$ : Допустимо. Находится в первом интервале.
$T=20$ : Допустимо. Находится в первом интервале.
$T=25$ : Не допустимо. Не находится ни в одном из интервалов.
$T=30$ : Допустимо. Находится во втором интервале.
$T=40$ : Не допустимо. Исключено из исходного интервала. Решение верно и удовлетворяет всем условиям.

Источник. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — свободная лицензия.

Exercise list

20 exercises · 5 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 6

Ex. 1.1ApplicationAnswer key
Перечислите в нотации множества множество $A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 5\}$ .
Solve online
Ex. 1.2Application
Напишите в интервальной нотации: $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 8\}$ .
Solve online
Ex. 1.3Application
Напишите в интервальной нотации: $\{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$ .
Solve online
Ex. 1.4ApplicationAnswer key
Даны $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{4, 5, 6, 7\}$ , вычислите $A \cap B$ .
Solve online
Ex. 1.5Application
С теми же $A$ и $B$ из предыдущего пункта, вычислите $A \cup B$ .
Solve online
Ex. 1.6Application
Всё ещё с теми же $A, B$ : вычислите $A \setminus B$ (элементы, которые находятся в $A$ но не в $B$ ).
Solve online
Ex. 1.7Application
Вычислите $[3, 10] \cap (1, 7)$ .
Solve online
Ex. 1.8Application
Вычислите $[3, 10] \cup (1, 7)$ .
Solve online
Ex. 1.9ApplicationAnswer key
$(-\infty, 0] \cup [0, +\infty) = ?$
Solve online
Ex. 1.10Application
$(-\infty, 0] \cap [0, +\infty) = ?$
Solve online
Ex. 1.11ApplicationAnswer key
Верно или неверно: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ . (Используйте V или F.)
Solve online
Ex. 1.12Application
Верно или неверно: $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 1.13ApplicationAnswer key
Верно или неверно: $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ но $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .
Solve online
Ex. 1.14Application
Решите и выразите в интервале: $|2x - 3| \leq 5$ .
Solve online
Ex. 1.15Understanding
Решите и выразите в интервале: $|x| > 2$ .
Solve online
Ex. 1.16Understanding
Решите: $2 \leq |x| \leq 3$ .
Solve online
Ex. 1.17Understanding
Покажите, что если $A \subseteq B$ и $B \subseteq C$ , то $A \subseteq C$ .
Solve online
Ex. 1.18Understanding
Пусть $A = (1, 5)$ и $B = [2, 7)$ . Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$ . Также представьте их на числовой прямой.
Solve online
Ex. 1.19Understanding
Упростите: $(A^c \cap B^c)^c$ .
Solve online
Ex. 1.20Understanding
Пусть $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \leq 4\}$ и $B = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}$ . Определите $A \cap B$ в интервальной нотации.
Solve online

Источники

Только книги, которые напрямую поддерживали текст и упражнения.

Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1.
College Algebra 2e — OpenStax · 2022 · EN · CC-BY · §1.1, §1.7.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · libre · caps. 1, 3, 6.
Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · libre · cap. 1.
Matemática elementar — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.

Строгое определение

Фундаментальные числовые множества

Интервалы

Операции над множествами

Решённые примеры

Источники