Lição 6 — Funções exponenciais

Calcule $7^0$, $(1{,}5)^0$ e $(0{,}01)^0$.

Calcule $2^{-3}$.

Calcule $3^{1/2}$.

Determine o domínio, a imagem e o ponto em que $f(x) = 2^x$ cruza o eixo $y$.

Para $f(x) = 2^x$, calcule $f(3)$, $f(-2)$ e $f(1/2)$.

Para $g(x) = (1/3)^x$, calcule $g(-1)$, $g(0)$ e $g(2)$. A função é crescente ou decrescente?

Qual conjunto de características descreve corretamente $f(x) = a^x$ com $a > 0, a \neq 1$?

Simplifique $2^3 \cdot 2^4$ usando a lei $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Simplifique $(3^2)^4$.

Simplifique $5^7 / 5^3$.

Compare o comportamento de $f(x) = 2^x$ e $g(x) = (1/2)^x$: qual é crescente, qual é decrescente, e qual a relação geométrica entre os dois gráficos?

Calcule $(1 + 1/n)^n$ para $n = 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000$. O que você observa?

Resolva $2^x = 8$.

Resolva $3^x = 1/9$.

Resolva $2^{x+1} = 32$.

Resolva $5^{2x-1} = 125$.

Resolva $9^x = 27$.

Resolva $9^{2x-1} = 27^{x+2}$.

Resolva $2^{x+3} = 4$.

Resolva $3^{x^2-1} = 81$.

Resolva $(1/2)^{2x} = 8$.

Resolva $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$.

Resolva a inequação $2^x > 2$.

Resolva a inequação $3^x < 9$.

Resolva a inequação $5^{x+1} \geq 25$.

Uma colônia de bactérias dobra a cada hora. Inicialmente há 50. (a) Modele $N(t)$. (b) Quantas após 6 horas? (c) Em quanto tempo atinge 12.800?

Uma cultura de bactérias triplica a cada 4 horas. Inicialmente há 200. Modele $N(t)$ e calcule $N(12)$.

Você aplica R$ 1.000 a 6% ao ano. (a) Saldo após 5 anos com capitalização anual. (b) Saldo após 5 anos com capitalização mensal.

Para o mesmo investimento do exercício 6.28 (R$ 1.000, 6% a.a., 5 anos), calcule o saldo com capitalização contínua ($M = Pe^{rt}$).

A população de uma cidade cresce 2,5% ao ano. Atual: 80.000 habitantes. Qual a população em 10 anos?

Meia-vida do tecnécio-99m (medicina nuclear): 6 horas. Dose inicial: 200 mCi. Quanto sobra após 18 horas?

A meia-vida do carbono-14 é 5.730 anos. Um osso contém $1/8$ do carbono-14 original. Quantos anos ele tem?

Uma droga é eliminada com taxa $k = 0,3$/h. Dose inicial: 500 mg. (a) Modele $C(t)$. (b) Quando a concentração é metade da inicial?

Lei de Newton de resfriamento: $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$. Para $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0{,}1$/min: (a) $T(10)$; (b) Quando $T = 6\,°C$?

Capacitor descarrega segundo $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$. Para $V_0 = 12$ V, $RC = 2$ s: (a) $V(1)$; (b) Quando $V = 1$ V?

Intensidade luminosa em água decai como $I(x) = I_0 e^{-0{,}3x}$ ($x$ em metros). Para $I_0 = 1.000$ lux: (a) $I(5)$; (b) Profundidade para a qual $I = 0{,}1 I_0$.

Mostre que $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ usando a definição de potência inteira e indução.

Mostre que $a^x = b^x$ implica $a = b$ ou $x = 0$, para $a, b > 0$.

Mostre que $f(x) = a^x$ é estritamente crescente se $a > 1$ e estritamente decrescente se $0 < a < 1$.

Resolva $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$. (Substitua $u = 2^x$.)

Resolva $9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$. (Substitua $u = 3^x$; o resultado não é inteiro.)

Compare a velocidade de crescimento de $a^x$ (com $a > 1$) e de qualquer polinômio $x^n$ quando $x \to +\infty$. Qual domina?