Лекция 8 — Экспоненциальный рост и затухание

Uma cultura de bactérias dobra a cada 30 minutos. Se inicialmente há 100 bactérias, quantas haverá após 3 horas?

R$ 2.000 são aplicados a 8% ao ano com juros compostos anuais. Qual o saldo após 10 anos?

A meia-vida de um isótopo radioativo é 5 anos. Que fração da quantidade original sobra após 25 anos?

Uma cidade cresce a 2% ao ano (composto anual). Em quantos anos a população triplica?

Um café a $90\,°C$ resfria em ambiente a $20\,°C$. Após 5 min está a $70\,°C$. Modele $T(t)$ usando lei de Newton.

Mostre que se $N(t) = N_0 e^{kt}$, a razão $N(t+\Delta t)/N(t)$ depende apenas de $\Delta t$, não de $t$. Esta propriedade caracteriza o crescimento exponencial.

Se uma quantidade duplica a cada 7 anos, qual a taxa de crescimento contínuo $k$?

Uma droga tem meia-vida de 6 horas no organismo. O paciente toma 200 mg. (a) Quanto resta após 12 horas? (b) Após 24 horas? (c) Quando o nível cai abaixo de 10 mg?

A relação entre potência de antena emissora $P$ (em W) e distância de alcance $d$ (em km) é dada empiricamente por $d = 10 \cdot P^{0{,}25}$. Determine $d$ para $P = 100$ W. Linearize por log e identifique inclinação.

Datação por carbono-14: um osso contém $30\%$ do carbono-14 original. Sabendo que $\tau_{1/2} = 5\,730$ anos, qual a idade do osso?

ENEM-style. Em 7 anos, a população de peixes em uma lagoa duplicou. Mantendo a mesma taxa, em quantos anos quadruplica? Em quantos quintuplica?

Comparação financeira. Um banco oferece duas opções: A: 12% ao ano com capitalização anual; B: 11,5% ao ano com capitalização contínua. Qual rende mais em 5 anos?

A população mundial era 6 bilhões em 2000 e 8 bilhões em 2024. (a) Modele assumindo crescimento exponencial. (b) Em que ano deve atingir 10 bilhões (mantida a mesma taxa)?

Demonstração. Mostre que se $N(t)$ satisfaz $\dot N = kN$ com $k$ constante, então $N(t) = N(0) e^{kt}$. (Você pode admitir manipulação informal de derivadas; isto será formalizado no Trim 10.)

Uma cultura de bactérias cresce de 1.000 para 8.000 em 6 horas. Determine o tempo de duplicação.

A população mundial era 7,8 bilhões em 2020 e cresce a 1,1% ao ano (composto). Estime a população em 2050.

Um investimento de R$ 5.000 a 1,2% ao mês com capitalização mensal: saldo após 24 meses?

Bactérias dobram a cada 20 minutos. Inicialmente 200. Quantas após 4 horas?

A constante de crescimento de uma população é $r = 0{,}05$/ano (contínua). Em quantos anos a população cresce 50%?

A população do Brasil cresceu de 190 milhões em 2010 para 215 milhões em 2024. Estime a taxa anual contínua de crescimento.

Capitalização contínua: R$ 1.000 a 6% a.a. Quanto após 10 anos? Compare com capitalização anual.

Em pesquisa de mercado, um produto novo cresce 8% ao mês durante o lançamento. Em quantos meses dobra?

Inflação anual de 4% (composta): em quantos anos os preços dobram?

Em demografia, a "razão de dependência" (idosos/ativos) cresce 2% ao ano (composto anual). Em quantos anos triplica?

Mostre que se $N(t) = N_0 e^{kt}$, então $\ln N$ vs $t$ é uma reta com inclinação $k$. Esta é a base da regressão linear sobre dados exponenciais.

Compare crescimento exponencial puro $\dot N = rN$ com crescimento logístico $\dot N = rN(1 - N/K)$ qualitativamente. Quando o logístico é mais realista?

Explique a regra prática: "tempo de duplicação $\approx 70/r\%$" (regra de 70). Use $\ln 2 \approx 0{,}693$.

A meia-vida e o tempo de duplicação são análogos. Mostre: para crescimento $\dot N = kN$, $T_\text{dupl} = \ln 2 / k$.

Crescimento de COVID-19 nos primeiros 30 dias: aproximadamente $r = 0{,}3$/dia (tempo de duplicação ~2,3 dias). Estime quantos casos haverá em 30 dias se inicialmente havia 100. (Modelo só vale enquanto $N \ll K$.)

Lei de Newton de resfriamento: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$. Mostre que a meia-vida da diferença $T - T_a$ é $\ln 2 / k$.

O carbono-14 tem meia-vida de 5.730 anos. Um osso contém $\frac{1}{8}$ do C-14 original. Qual a idade?

O urânio-238 tem meia-vida de 4,5 bilhões de anos. Por que é usado em datação geológica? Em quanto tempo decai 25%?

Um isótopo medicamentoso (Tc-99m) tem meia-vida de 6 horas. Para uma dose inicial de 25 mCi, quanto resta após 24 horas?

Em farmacocinética, a meia-vida do paracetamol é ~2,5 horas. Para uma dose de 500 mg, quando cai a 100 mg?

Capacitor descarregando: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ com $\tau = RC$. Para $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu$F, $V_0 = 12$ V: (a) $\tau$? (b) $V(0{,}1)$ s? (c) Quando $V = 1$ V?

Café a $90\,°C$ esfria em sala de $25\,°C$. Após 10 min está a $75\,°C$. Modele $T(t)$ usando lei de Newton. Quando atingirá $30\,°C$?

Em circuitos RL, a corrente cresce como $I(t) = (V/R)(1 - e^{-Rt/L})$. Para $V = 12$ V, $R = 4\,\Omega$, $L = 2$ H: (a) constante de tempo? (b) $I(0{,}5)$? (c) Quando $I = 90\%$ do final?

Um reator nuclear gera potência $P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$ após desligamento. Para $\lambda = 0{,}05$/h, quanto tempo até a potência cair a 1%?

Em propagação de doenças (modelo SIR simplificado), o número de infectados decai como $I(t) = I_0 e^{-\gamma t}$ após o pico. Estime tempo para cair 90% se $\gamma = 0{,}1$/dia.

Em datação por potássio-argônio (rocha vulcânica): meia-vida do K-40 = 1,25 bilhão de anos. Para uma rocha com razão Ar/K = 0,3, qual a idade aproximada?

Em depreciação contábil (regra "balança decrescente"): $V(t) = V_0 (1-r)^t$. Para um equipamento de R$ 50.000 com $r = 15\%$/ano, qual o valor após 5 anos? Quanto deprecia em 10 anos?

Acústica: o nível sonoro de um motor diminui com a distância como $L(d) = L_0 - 20 \log_{10}(d/d_0)$. Para $L_0 = 100$ dB a $d_0 = 1$ m, qual $L$ a $10$ m?

Datação geológica por urânio-chumbo: meia-vida U-238 → Pb-206 = 4,5 bilhões de anos. Para zircão com 80% de U-238 restante, qual a idade da rocha?

Em modelagem populacional logística, $N(t) = K/(1 + A e^{-rt})$. Para $K = 1\,000$, $A = 9$, $r = 0{,}1$/ano: calcule $N(20)$.

Em economia, regra dos 72: tempo de duplicação $T \approx 72/r\%$. Compare com a fórmula exata $T = \ln 2 / \ln(1+r)$ para $r = 5\%, 10\%, 20\%$.