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Лекция 9 — Средняя скорость изменения — вход в анализ

Δy/Δx как центральное понятие, предшествующее производной. Геометрическая интерпретация (наклон) и физическая интерпретация (средняя скорость). Вопрос, который открывает анализ: 'а что если Δx станет очень маленьким?'

Used in: 1.º ano EM · введение в Анализ (Триместры 5-6)

\text{SVC (средняя скорость изменения)} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Книги, которые охватывают этот урок

Active Calculus 2.0 — Boelkins
· §1.3 (taxa de variação como motivação para derivada) · CC-BY-NC-SA · Tratamento explícito da SVC (средняя скорость изменения) como ponte para o cálculo. Exposição via Bruner — currículo em espiral. Fonte primária desta lição.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §2.1 e §3.1 (taxas de variação, secantes e tangentes) · CC-BY-NC-SA · Definição clássica de SVC (средняя скорость изменения) e secante; problemas de cinemática (posição → velocidade média).
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs
· cap. 5 (taxa média em modelagem) · licença aberta · Aplicações em economia (custo marginal), demografia (crescimento médio) e finanças (retorno anualizado).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Определение и интерпретация

Геометрическая интерпретация

Это наклон секущей прямой к графику $f$ через точки $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$ .

Секущая прямая (оранжевая) через точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Её наклон — это точно Δy / Δx, средняя скорость изменения f на [a, b].

Частные случаи

$f$ линейная ( $f(x) = mx + n$ ): SVC (средняя скорость изменения) постоянна и равна $m$ на любом интервале.
$f$ квадратичная: SVC (средняя скорость изменения) варьируется в зависимости от интервала.

Вопрос, открывающий анализ

А если $\Delta x \to 0$ ? Секущая прямая "становится" касательной, и SVC (средняя скорость изменения) сходится к мгновенной скорости изменения — что именно производная $f'(a)$ .

Это тема Триместров 5 (пределы) и 6 (производные). Эта лекция — преддверие.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do cálculo direto da SVC (средняя скорость изменения) em uma quadrática (aplicação) até a estimação numérica da derivada via SVC (средняя скорость изменения)s sucessivas (modelagem real). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Exemplo 1 — SVC (средняя скорость изменения) de f(x) = x² em [1, 4] (aplicação)

Problema: Calcule a taxa de variação média de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 4]$ .

Estratégia: Aplicar diretamente a definição $\text{SVC (средняя скорость изменения)} = (f(b) - f(a))/(b - a)$ com $a = 1$ , $b = 4$ .

Решение:

Calcule $f(1) = 1^2 = 1$ e $f(4) = 4^2 = 16$ .
Aplique a fórmula: $\text{SVC (средняя скорость изменения)} = (16 - 1)/(4 - 1) = 15/3 = 5$ .
Resposta: SVC (средняя скорость изменения) = 5.

Verificação: Esta é a inclinação da reta secante pelos pontos $(1, 1)$ e $(4, 16)$ . Уравнение da secante: $y - 1 = 5(x - 1)$ , ou $y = 5x - 4$ . Substituindo $x = 4$ : $y = 16$ , confere. Substituindo $x = 1$ : $y = 1$ , confere.

Источник. Active Calculus §1.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Exemplo 2 — Velocidade média de uma queda livre (intermediário)

Problema: Uma pedra é solta de uma altura. Sua altura (em metros) após $t$ segundos é $h(t) = 80 - 5t^2$ . Calcule a velocidade média no intervalo $[1, 3]$ s.

Estratégia: Velocidade média é a SVC (средняя скорость изменения) da posição. Como $h$ está em metros e $t$ em segundos, a SVC (средняя скорость изменения) tem unidades de m/s.

Решение:

Calcule $h(1) = 80 - 5 \cdot 1 = 75$ m e $h(3) = 80 - 5 \cdot 9 = 80 - 45 = 35$ m.
Variação de altura: $\Delta h = 35 - 75 = -40$ m (negativo: a pedra desceu).
Variação de tempo: $\Delta t = 3 - 1 = 2$ s.
Velocidade média: $v_m = \Delta h/\Delta t = -40/2 = -20$ m/s.
Resposta: velocidade média = $-20$ m/s (sinal negativo indica que a pedra está caindo).

Verificação: A derivada $h'(t) = -10 t$ (preview cálculo). No instante médio $t = 2$ , $h'(2) = -20$ m/s. Pelo Teorema do Valor Médio, isso confirma SVC (средняя скорость изменения) = velocidade instantânea no ponto médio para a quadrática (caso especial, vale por simetria).

Источник. OpenStax Calculus Volume 1 §2.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Exemplo 3 — SVC (средняя скорость изменения) em [a, a+h] e o limite que vira derivada (intermediário)

Problema: Para $f(x) = x^2$ , encontre a SVC (средняя скорость изменения) no intervalo $[a, a+h]$ em função de $a$ e $h$ . O que ocorre quando $h \to 0$ ?

Estratégia: Aplicar a definição com extremos $a$ e $a + h$ , depois simplificar algebricamente. O limite simbólico $h \to 0$ produz a derivada.

Решение:

$f(a + h) = (a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ .
$f(a) = a^2$ .
Numerador: $f(a + h) - f(a) = 2ah + h^2 = h(2a + h)$ .
Denominador: $(a + h) - a = h$ .
SVC (средняя скорость изменения) = $h(2a + h)/h = 2a + h$ (válido para $h \neq 0$ ).
Quando $h \to 0$ : SVC (средняя скорость изменения) $\to 2a$ .

Verificação: Para $a = 1$ e $h = 0{,}1$ : SVC (средняя скорость изменения) $= 2{,}1$ . Para $h = 0{,}01$ : SVC (средняя скорость изменения) $= 2{,}01$ . Para $h = 0{,}001$ : SVC (средняя скорость изменения) $= 2{,}001$ . O limite tende a $2 = 2 \cdot 1$ . Foi assim que Cauchy demonstrou que $f'(x) = 2x$ para $f(x) = x^2$ — você acabou de fazer cálculo, sem saber.

Источник. Active Calculus §1.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Exemplo 4 — Custo marginal via SVC (средняя скорость изменения) (avançado)

Problema: Uma empresa tem custo $C(q) = 0{,}5 q^2 + 30 q + 200$ (R$). Calcule a SVC (средняя скорость изменения) do custo entre $q = 100$ e $q = 101$ unidades. Interprete economicamente.

Estratégia: SVC (средняя скорость изменения) = $(C(101) - C(100))/(101 - 100) = C(101) - C(100)$ . Como $\Delta q = 1$ , a SVC (средняя скорость изменения) coincide com o "custo da unidade marginal" — o custo de produzir a 101.ª unidade.

Решение:

$C(100) = 0{,}5 \cdot 10\,000 + 30 \cdot 100 + 200 = 5\,000 + 3\,000 + 200 = 8\,200$ R$.
$C(101) = 0{,}5 \cdot 10\,201 + 30 \cdot 101 + 200 = 5\,100{,}5 + 3\,030 + 200 = 8\,330{,}5$ R$.
SVC (средняя скорость изменения) = $(8\,330{,}5 - 8\,200)/1 = 130{,}5$ R$/unidade.
Interpretação: produzir a 101.ª unidade custa cerca de R$ 130,50 a mais que produzir 100. Esse é o custo marginal aproximado.

Verificação: A derivada (preview cálculo) é $C'(q) = q + 30$ , então $C'(100) = 130$ R$/unidade. A SVC (средняя скорость изменения) (130,5) é boa estimativa do custo marginal verdadeiro (130). A pequena diferença (0,5) vem do termo quadrático e desaparece quando $\Delta q \to 0$ .

Источник. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 5 — licença aberta.

Example— 5· Exemplo 5 — Estimar derivada por SVC (средняя скорость изменения)s sucessivas (modelagem real)

Problema: Para $f(x) = \sqrt{x}$ , calcule a SVC (средняя скорость изменения) em $[4, 4{,}5]$ , $[4, 4{,}1]$ e $[4, 4{,}01]$ . Para qual valor essas SVC (средняя скорость изменения)s convergem? Interprete como aproximação da derivada $f'(4)$ .

Estratégia: Calcular numericamente cada SVC (средняя скорость изменения) e observar a convergência. Quando $\Delta x$ encolhe, a SVC (средняя скорость изменения) se aproxima da derivada — princípio das diferenças finitas.

Решение:

Intervalo $[4, 4{,}5]$ : $f(4) = 2$ , $f(4{,}5) \approx 2{,}1213$ . SVC (средняя скорость изменения) $\approx (2{,}1213 - 2)/0{,}5 \approx 0{,}2426$ .
Intervalo $[4, 4{,}1]$ : $f(4{,}1) \approx 2{,}0248$ . SVC (средняя скорость изменения) $\approx (2{,}0248 - 2)/0{,}1 \approx 0{,}2485$ .
Intervalo $[4, 4{,}01]$ : $f(4{,}01) \approx 2{,}002498$ . SVC (средняя скорость изменения) $\approx 0{,}002498/0{,}01 \approx 0{,}2498$ .
As SVC (средняя скорость изменения)s convergem para $0{,}25 = 1/4$ .
Resposta: $f'(4) = 1/4$ , ou seja, a inclinação da tangente ao gráfico de $\sqrt{x}$ no ponto $x = 4$ é $1/4$ .

Verificação: A derivada exata é $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$ . Em $x = 4$ : $f'(4) = 1/(2 \cdot 2) = 1/4$ . Exato. A convergência observada (0,2426 → 0,2485 → 0,2498 → 0,25) confirma o teorema. Este é o método numérico de diferença para frente — usado em laboratório, simulação, deep learning.

Источник. Active Calculus §1.5 (preview) — licença CC-BY-NC-SA.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 9Modeling 18Challenge 2Proof 2

Ex. 9.1ApplicationAnswer key
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^2$ em $[1, 3]$ .
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Ex. 9.2Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^2$ em $[1, 5]$ .
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Ex. 9.3Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^2$ em $[2, 4]$ .
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Ex. 9.4ApplicationAnswer key
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $g(x) = 3x - 5$ em $[0, 10]$ . Verifique que é igual à inclinação $a = 3$ da reta.
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Ex. 9.5Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $g(x) = 2x + 7$ em $[10, 20]$ . Compare com o item anterior.
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Ex. 9.6UnderstandingAnswer key
Pré-derivada. Para $f(x) = x^2$ , encontre a SVC (средняя скорость изменения) no intervalo $[a, a+h]$ em função de $a$ e $h$ .
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Ex. 9.7Understanding
Para $f(x) = x^3$ , encontre a SVC (средняя скорость изменения) no intervalo $[a, a+h]$ . O que ocorre quando $h \to 0$ ?
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Ex. 9.8Understanding
Mostre que a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = c$ (constante) em qualquer intervalo é $0$ . Explique por quê.
Ex. 9.9Modeling
Um carro percorre $s(t) = 4 t^2$ metros em $t$ segundos. Calcule a velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$ .
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Ex. 9.10Modeling
A altura de uma bola lançada vertical é $h(t) = 20 t - 5 t^2$ (m, s). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 2$ . (b) Entre $t = 0$ e $t = 4$ . (c) O que acontece com a "média" se a bola voltou ao chão?
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Ex. 9.11Modeling
A população $P(t) = 1\,000 e^{0{,}03 t}$ representa habitantes em função do tempo (anos). Qual a SVC (средняя скорость изменения) (crescimento médio) entre $t = 0$ e $t = 10$ ? E entre $t = 10$ e $t = 20$ ?
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Ex. 9.12Challenge
Para $f(x) = 1/x$ , calcule a SVC (средняя скорость изменения) em $[1, 1+h]$ e simplifique. O que ocorre quando $h \to 0$ ?
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Ex. 9.13ChallengeAnswer key
ENEM-style. Um carro percorre 100 km em 54 minutos numa rodovia com limite de 110 km/h. Justifique por que o motorista necessariamente excedeu o limite em algum instante.
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Ex. 9.14Proof
Demonstre: a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = a x^2 + b x + c$ em $[p, q]$ é $a(p + q) + b$ . (Use a fórmula direta.)
Ex. 9.15Proof
Mostre que a SVC (средняя скорость изменения) de qualquer função afim em qualquer intervalo é igual ao seu coeficiente angular.
Ex. 9.16Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^2$ em (a) $[1, 2]$ ; (b) $[1, 1{,}5]$ ; (c) $[1, 1{,}1]$ ; (d) $[1, 1{,}01]$ . Para qual valor as SVC (средняя скорость изменения)s convergem? Esta convergência é a derivada $f'(1)$ .
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Ex. 9.17Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^3$ em $[2, 2{,}5]$ , $[2, 2{,}1]$ , $[2, 2{,}01]$ . Estime $f'(2)$ .
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Ex. 9.18Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = \sqrt{x}$ em $[4, 9]$ .
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Ex. 9.19Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ em $[1, 4]$ .
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Ex. 9.20ApplicationAnswer key
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = \sin(x)$ em $[0, \pi/2]$ e em $[\pi/2, \pi]$ . Compare e interprete.
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Ex. 9.21Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = e^x$ em $[0, 1]$ e em $[1, 2]$ . Por que a segunda é maior?
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Ex. 9.22Application
Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = \ln(x)$ em $[1, e]$ e em $[e, e^2]$ .
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Ex. 9.23Application
Para $f(x) = x^2 + 3 x$ , calcule SVC (средняя скорость изменения) em $[1, 1+h]$ em função de $h$ . Para qual valor a SVC (средняя скорость изменения) tende quando $h \to 0$ ? Interprete.
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Ex. 9.24Application
Para $f(x) = x^2$ , calcule SVC (средняя скорость изменения) em $[a, a+h]$ . Mostre que tende a $2a$ quando $h \to 0$ . Você acabou de derivar $f'(a) = 2a$ .
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Ex. 9.25Understanding
Em quais intervalos a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = x^3$ é positiva? Negativa? (Pista: $f$ é estritamente crescente.)
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Ex. 9.26UnderstandingAnswer key
Mostre que a SVC (средняя скорость изменения) de uma função par em $[-a, a]$ é zero.
Ex. 9.27Understanding
Pegadinha clássica. A SVC (средняя скорость изменения) de uma função ímpar em $[-a, a]$ é zero? Justifique. (Cuidado: o argumento é diferente do caso par — qual é a diferença?)
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Ex. 9.28Understanding
A SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = |x|$ em $[-1, 1]$ é zero. A SVC (средняя скорость изменения) em $[0, 1]$ é $1$ . A SVC (средняя скорость изменения) em $[-1, 0]$ é $-1$ . Comente o que isso revela sobre o gráfico no ponto $x = 0$ .
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Ex. 9.29Understanding
A função $f$ é monótona crescente em $[a, b]$ se a SVC (средняя скорость изменения) em qualquer subintervalo é positiva. Verdadeiro ou falso? Justifique.
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Ex. 9.30UnderstandingAnswer key
Esboce uma função tal que SVC (средняя скорость изменения) em $[0, 2] = 0$ mas $f$ não seja constante. (Existem muitas — uma simples.)
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Ex. 9.31Modeling
Um carro percorre 120 km em 1,5 h. Qual a velocidade média?
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Ex. 9.32ModelingAnswer key
A posição de uma partícula é $s(t) = 4 t^2$ (m, com $t$ em s). Velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$ ?
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Ex. 9.33Modeling
Um corredor percorre $s(t) = 0{,}5 t^2 + 2 t$ (km, com $t$ em horas). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 1$ ? (b) Entre $t = 0$ e $t = 2$ ? (c) Por que a segunda é maior?
Solve online
Ex. 9.34Modeling
A população de uma cidade era 50.000 em 2010 e 75.000 em 2020. (a) SVC (средняя скорость изменения) (taxa anual média)? (b) Se mantida, projeção para 2030?
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Ex. 9.35Modeling
Em economia, o PIB do Brasil cresceu de R$ 5,5 trilhões em 2010 para R$ 8,3 trilhões em 2020 (em valores constantes). Calcule a SVC (средняя скорость изменения) linear anual.
Solve online
Ex. 9.36Modeling
A receita da empresa cresceu de R$ 2 milhões para R$ 3,5 milhões em 5 anos. Qual a SVC (средняя скорость изменения) mensal?
Solve online
Ex. 9.37Modeling
Em farmacocinética, concentração no sangue: $C(t) = 100 e^{-0{,}3 t}$ . SVC (средняя скорость изменения) em $[0, 2]$ ? E em $[2, 4]$ ?
Solve online
Ex. 9.38ModelingAnswer key
Crescimento de bactérias: $N(t) = 1\,000 \cdot 2^t$ (com $t$ em horas). SVC (средняя скорость изменения) em $[0, 3]$ ? Compare com a SVC (средняя скорость изменения) em $[3, 6]$ .
Solve online
Ex. 9.39Modeling
ENEM 2019. A inflação acumulada em 12 meses foi de 4,8%. Qual a inflação média mensal? (Cuidado: inflação compõe.)
Solve online
Ex. 9.40ModelingAnswer key
Uma empresa tem custo $C(q) = 0{,}5 q^2 + 30 q + 200$ . A SVC (средняя скорость изменения) do custo em $[10, 11]$ é o "custo marginal" aproximado de produzir a 11.ª unidade. Calcule.
Solve online
Ex. 9.41Modeling
Numa corrida de 100 m, o atleta percorre os primeiros 30 m em 4,5 s e os últimos 70 m em 5,5 s. Velocidade média (a) primeiros 30 m; (b) últimos 70 m; (c) corrida toda. Onde correu mais rápido?
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Ex. 9.42Modeling
A altura de uma pedra em queda livre desde 100 m é $h(t) = 100 - 5 t^2$ . Velocidade média no intervalo $[0, 2]$ ? E no intervalo $[2, t_\text{queda}]$ (sendo $t_\text{queda}$ o instante de impacto)?
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Ex. 9.43Modeling
Em fluxo de tráfego, a velocidade média de um carro entre dois sensores é $v_m = \Delta x / \Delta t$ . Para sensores a 1 km de distância e tempo medido de 50 s, calcule $v_m$ em km/h.
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Ex. 9.44Modeling
Em finanças: um índice subiu de 100 para 144 em 4 anos. (a) Retorno acumulado (%)? (b) Retorno anualizado (composto)?
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Ex. 9.45ModelingAnswer key
Em meteorologia, a temperatura desceu de $28\,°C$ às 14h para $20\,°C$ às 22h. SVC (средняя скорость изменения) (°C/h)? Discuta a validade do "linear" para temperatura ao longo de 8 horas.
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Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.3 e §1.5 (SVC (средняя скорость изменения) como motivação para a derivada). Fonte primária desta lição.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1 (preview do cálculo) e §3.1 (definindo a derivada).
Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 5 (SVC (средняя скорость изменения) em modelagem econômica e biológica).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024, v5 · EN · CC-BY-NC · §2.1 (definição clássica de taxa).
Cálculo Numérico (Python) — REAMAT UFRGS · 2024 · PT-BR · CC-BY-SA · cap. 5 (diferenças finitas — fonte da Porta 40).

Esta lição é a porta de entrada do Cálculo — a SVC (средняя скорость изменения) aparecerá novamente nas Lições 41-50 (Trim 5-6, Ano 2) sob o nome "derivada".