Лекция 10 — Консолидация Триместра 1: интегрирующий семинар

Encontre o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$.

Sejam $f(x) = 2^x$ e $g(x) = \log_2 x$. Calcule $f(g(8))$ e $g(f(3))$.

Determine a equação da reta que passa pelo vértice da parábola $y = x^2 - 4 x + 7$ e tem inclinação $2$.

Resolva $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. (Substitua $u = 2^x$.)

Calcule a SVC (средняя скорость изменения) de $f(x) = 2 x + 3$ no intervalo $[1, 4]$.

Sejam $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = \sqrt{x}$. Determine $(f \circ g)(x)$ e o domínio dessa composição.

Mostre que se $f$ é par ($f(-x) = f(x)$) e $g$ é ímpar ($g(-x) = -g(x)$), então $f \cdot g$ é ímpar.

Resolva o sistema $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$ (com $x, y > 0$).

A função $f(x) = (1/2)^{x - 1}$ é crescente ou decrescente? Justifique.

Determine $a$ para que a função $f(x) = (a - 1) x^2 + 3 x - 2$ tenha vértice em $x = 1$.

Para $f(x) = 3^x$, calcule SVC (средняя скорость изменения) em $[0, 2]$. Compare com SVC (средняя скорость изменения) em $[2, 4]$ — qual é maior?

Encontre a inversa de $f(x) = 3^{x + 1}$.

ENEM 2018-style. Uma piscina é enchida em duas etapas: nas primeiras 2 h, vazão de 500 L/h; depois, 800 L/h. Modele $V(t)$. Em quanto tempo a piscina de 6.000 L fica cheia?

Um capacitor descarrega segundo $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, com $\tau = 0{,}5$ s. Para $V_0 = 12$ V: (a) tensão em $t = 1$ s; (b) tempo para tensão cair a 1 V; (c) tempo para cair pela metade.

A renda familiar $R$ aumenta linearmente com a escolaridade $e$ (anos): $R = 800 + 200 e$. (a) Renda média por ano de estudo adicional? (b) Para qual $e$ a renda atinge R$ 5.000?

Um remédio tem meia-vida de 3 h. Você toma 100 mg agora. Toma outra dose de 100 mg em 6 h. Modele a concentração total $C(t)$ ao longo das primeiras 12 h.

Uma empresa modela seu custo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e receita $R(q) = 60 q$. Lucro $L = R - C$. (a) Quando o lucro é zero? (b) Qual a quantidade que maximiza o lucro?

Uma cidade estima sua população por $P(t) = P_0 \cdot (1{,}025)^t$ (anos). Em 2020, $P_0 = 50.000$. Em qual ano atinge 100.000?

A radiação solar varia ao longo do ano. Em uma latitude, $I(t) = 800 + 200 \sin(\pi t/6)$ (W/m², com $t$ em meses). (a) Mínimo? (b) Máximo? (c) Em que mês ocorre o máximo?

Uma empresa tem dois operários: A com salário fixo R$ 3.000/mês; B com salário variável $0{,}1 \cdot V$, onde $V$ é vendas mensais. Para que volume $V$ o salário B excede o de A?

Custo médio de um produto: $C(q) = (1\,000 + 5 q)/q$. (a) Esboce. (b) Para $q$ grande, para qual valor tende?

Acústica: nível sonoro $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ dB. Se $I = 10^{-6}$ W/m² e $I_0 = 10^{-12}$ W/m², qual $L$?

Velocidade média de um carro: percorre 60 km em 1 h e mais 90 km em 1,5 h. Velocidade média total?

Demografia: $P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). Capacidade de suporte (limite quando $t \to \infty$)?

EJU-style. Para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6 x + 8$: (a) raízes; (b) vértice; (c) maior intervalo onde $f$ é injetora; (d) inversa nesse intervalo.

Abitur-style. Resolva $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$ (com $x > 1$).

Cultura $A$ cresce com taxa $r_A = 0{,}05$/h; cultura $B$ com $r_B = 0{,}10$/h. Em $t = 0$, $A$ tem 1.000 células, $B$ tem 200. Quando as duas culturas têm o mesmo tamanho?

Resolva o sistema $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$.

Para $f(x) = (2 x - 1)/(x + 3)$: (a) determine domínio e imagem; (b) verifique se é injetora; (c) encontre a inversa.

Encontre todos os $x > 0$ tais que $x^{\log_{10} x} = 100 x$. (Use log dos dois lados.)

Suneung-style. Para $f(x) = a x + b$ tal que $f(f(x)) = 4 x + 9$, encontre todos os pares $(a, b)$.

Determine $a$ tal que $f(x) = e^{2 x} + a e^x + 1$ tenha mínimo igual a zero em $\mathbb{R}$.

Demonstre que toda função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pode ser escrita como soma de uma função par e uma ímpar. Dica: $f(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} + \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$.

Demonstre que se $a, b > 0$ e $a + b = c$ (constante), então $a^2 + b^2$ é mínimo quando $a = b = c/2$. Use técnica de função quadrática (sem cálculo).

Demonstre que $\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y$ para $x, y > 0$ e $b > 0, b \neq 1$. (Use $b^{\log_b x} \cdot b^{\log_b y} = b^{\log_b x + \log_b y}$.)