Урок 11 — Тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике острый угол $\theta$ имеет противолежащий катет $3$ и прилежащий катет $4$. Вычислите $\sin\theta$, $\cos\theta$ и $\tan\theta$. Проверьте пифагоровым тождеством.

Прямоугольный треугольник имеет катеты $5$ и $12$. Вычислите гипотенузу и $\sin$, $\cos$, $\tan$ угла, противолежащего катету меры $5$.

Гипотенуза $= 13$ и противолежащий катет $\theta$ равен $5$. Вычислите $\sin\theta$ и $\cos\theta$.

Выведите точные значения $\sin 30°$, $\cos 30°$ и $\tan 30°$ из треугольника 30-60-90. Не используйте таблицу — постройте треугольник.

Из того же треугольника 30-60-90 из предыдущего упражнения выведите $\sin 60°$, $\cos 60°$ и $\tan 60°$.

Выведите $\sin 45°$, $\cos 45°$ и $\tan 45°$ из треугольника 45-45-90. Постройте треугольник и обоснуйте каждый шаг.

Если $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ и $\theta$ острый, какое значение $\theta$?

Если $\cos\theta = 1/2$ и $\theta$ острый, какое значение $\theta$?

Если $\tan\theta = 1$ и $\theta$ острый, какое значение $\theta$?

В треугольнике $30°$-$60°$-$90°$ с гипотенузой $10$ вычислите два катета. Проверьте Пифагором.

Если $\sin\theta = 3/5$ и $\theta$ острый, вычислите $\cos\theta$.

Если $\cos\theta = 5/13$ и $\theta$ острый, вычислите $\sin\theta$ и $\tan\theta$.

Если $\tan\theta = 2/3$ и $\theta$ острый, вычислите $\sin\theta$ и $\cos\theta$.

Численно проверьте тождество $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ используя замечательные значения. Затем проверьте для $45°$ и для $60°$.

Покажите, что $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ из определений в прямоугольном треугольнике.

Покажите, что $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ прямо из прямоугольного треугольника.

Сравните $\sin 60°$ и $\cos 60°$. Какой больше? Почему?

Покажите, что $0 < \sin\theta < 1$ для любого острого $\theta$.

Аргументируйте геометрически, почему $\sin\theta$ строго возрастает в $(0°, 90°)$.

Геометрически оправдайте, почему $\tan\theta \to +\infty$ когда $\theta \to 90°^-$.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $20$ см и острым углом $35°$ вычислите два катета. (Используйте $\sin 35° \approx 0{,}574$ и $\cos 35° \approx 0{,}819$.) Проверьте Пифагором.

Противолежащий катет $= 6$ и угол $\theta = 40°$. Вычислите гипотенузу. (Используйте $\sin 40° \approx 0{,}643$.)

Прилежащий катет $= 10$ и угол $\theta = 25°$. Вычислите противолежащий катет. (Используйте $\tan 25° \approx 0{,}466$.)

Гипотенуза $= 25$, противолежащий катет $= 7$. Вычислите угол $\theta$.

Прямоугольный треугольник имеет катеты $8$ и $15$. Вычислите гипотенузу и два острых угла.

В равностороннем треугольнике со стороной $\ell$ вычислите высоту через тригонометрию и сравните с результатом через Пифагор.

В квадрате со стороной $\ell$ вычислите диагональ через тригонометрию. Сравните с Пифагором.

Покажите, что тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ эквивалентно теореме Пифагора. (Выразите катеты в функции гипотенузы и угла и подставьте в $a^2 + b^2 = c^2$.)

В прямоугольном треугольнике с прилежащим катетом $b$ и гипотенузой $c$ выразите $\tan\theta$ в функции $b$ и $c$.

Вычислите (без калькулятора) $\sin 15°$. (Подсказка: $15° = 45° - 30°$. Используйте формулу разности углов — ищите при необходимости.)

Лестница $5$ м прислонена к стене под углом $70°$ с землёй. На какую высоту она касается стены?

Вы находитесь в $50$ м от основания башни. Угол подъёма до вершины $40°$. Вычислите высоту башни. (Используйте $\tan 40° \approx 0{,}839$.)

Самолёт взлетает и достигает $1\\,500$ м высоты после прохождения $5$ км по горизонтали. Какой средний угол подъёма?

Корабль видит маяк высотой $200$ м под углом подъёма $3°$. На каком расстоянии корабль находится от основания маяка? (Используйте $\tan 3° \approx 0{,}0524$.)

Пандус доступности имеет максимальный наклон $5°$. Для преодоления перепада высоты $80$ см, какова минимальная длина пандуса? (Используйте $\sin 5° \approx 0{,}0872$.) Также вычислите наклон в процентах.

Во время солнечного затмения Луна имеет угловой диаметр $0{,}5°$ видимый с Земли. Учитывая, что реальный диаметр Луны $3\\,474$ км, оцените расстояние Земля-Луна. (Используйте $\tan(0{,}25°) \\approx 0{,}004363$.)

Сила $200$ N применяется к телу в направлении, образующем $30°$ с горизонталью. Вычислите горизонтальную и вертикальную компоненты. Проверьте, что норма результирующего вектора $200$ N.

Блок $50$ кг лежит на пандусе $20°$. ($g = 10$ м/с².) Вычислите компоненту веса параллельно пандусу и нормальную компоненту (перпендикулярную).

Башня Эйфеля имеет высоту $324$ м. При какой высоте угла вы видите вершину находясь в $500$ м от основания?

Дрон летит на высоте $100$ м и обнаруживает человека на земле под углом депрессии $30°$. Какое горизонтальное расстояние между дроном и человеком?

Топограф в $A$ видит вершину холма под углом подъёма $25°$. Продвигается $100$ м в сторону холма до $B$, и угол становится $40°$. Вычислите высоту $h$. (Используйте $\tan 25° \approx 0{,}466$ и $\tan 40° \approx 0{,}839$.)

Стальной кабель поддерживает антенну высотой $30$ м, закреплённую на земле в $12$ м от основания антенны. Вычислите длину кабеля и угол, который он образует с землёй.

В маятнике длины $1$ м нить образует $15°$ с вертикалью в крайней точке колебания. Вычислите высоту крайней точки выше точки равновесия.

V-образная дорога имеет подъём $8\%$ с последующим спуском $5\%$. Вычислите углы подъёма и спуска в градусах.

Столб $12$ м отбрасывает тень на землю. Вычислите длину тени при углах подъёма солнца $35°$ и также для $65°$. (Используйте $\tan 35° \\approx 0{,}700$ и $\tan 65° \\approx 2{,}145$.) Сравните два результата и объясните разницу.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$ выразите площадь в функции $c$ и острого угла $\theta$. Для какого значения $\theta$ площадь максимальна?

Докажите, что $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ используя формулу суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ с $\alpha = \beta = \theta$.

Решите: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ для $\theta \in [0°, 90°]$.

Докажите $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ из теоремы Пифагора и определений тригонометрических отношений.

Покажите, что $\cos\theta = \sin(90° - \theta)$ для всех $\theta \in (0°, 90°)$.