Урок 12 — Единичный круг и радианы

Преобразуйте $60°$ в радианы.

Преобразуйте $225°$ в радианы.

Преобразуйте $120°$ в радианы.

Преобразуйте $\pi/3$ рад в градусы.

Преобразуйте $7\pi/4$ рад в градусы.

Преобразуйте $1$ рад в градусы (приблизительный результат).

Найти котерминальный угол в $[0, 2\pi)$ для (a) $11\pi/4$ и (b) $-\pi/6$.

Преобразуйте $-150°$ в радианы.

Преобразуйте $\pi/12$ рад в градусы.

Преобразуйте $400°$ в радианы. Какой котерминальный угол в $[0, 2\pi)$?

Вычислите $\sin(\pi/6)$ и $\cos(\pi/6)$.

Вычислите $\sin(2\pi/3)$ и $\cos(2\pi/3)$.

Вычислите $\sin(\pi)$ и $\cos(\pi)$.

Вычислите $\sin(3\pi/2)$ и $\cos(3\pi/2)$.

Вычислите $\sin(7\pi/6)$ и $\cos(7\pi/6)$.

Вычислите $\sin(11\pi/6)$.

Вычислите $\cos(5\pi/4)$.

Вычислите $\sin(5\pi/3)$.

Вычислите $\tan(\pi/3)$.

Вычислите $\cos(-\pi/4)$, используя четность и через приведение к квадранту. Подтвердите, что оба метода совпадают.

Вычислите $\tan(7\pi/6)$.

Вычислите $\cos(29\pi/6)$. (Приведите по периодичности перед определением квадранта.)

Вычислите $\sin(-13\pi/4)$.

Численно проверьте, что $\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1$.

Используйте четность для вычисления $\sin(-\pi/4)$ без использования квадранта. Дайте геометрическую интерпретацию.

Докажите, что $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$, используя формулу суммы. Дайте геометрическую интерпретацию.

Докажите, что $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$, используя формулу разности косинусов. Объясните, почему это оправдывает название "косинус".

Выведите тождество $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ из формулы суммы.

В каком квадранте находится угол $\theta$ такой, что $\sin\theta > 0$ и $\cos\theta < 0$?

Найти все $\theta \in [0, 2\pi)$ такие, что $\sin\theta = \cos\theta$. (Подсказка: когда тангенс равен 1?)

Докажите, что $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = 1$ для всех $\theta$ с $\cos\theta \neq 0$.

Используйте тождество $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ для вычисления $\sin(5\pi/6)$ без использования квадранта.

Виниловый диск вращается с частотой 33 об/мин. Вычислите угловую скорость в рад/с.

Маятник описывает дугу 30°. Длина дуги, если нить имеет $1{,}5$ м?

Бразильская электросеть имеет частоту $f = 60$ Гц. Какова угловая скорость $\omega = 2\pi f$ в рад/с?

Промышленный двигатель вращается с частотой $1\,800$ об/мин. Угловая скорость в рад/с?

Колесо велосипеда с радиусом $35$ см. Линейная скорость $20$ км/ч. Какова угловая скорость в рад/с?

Фаза осциллятора — $\theta(t) = \omega t + \varphi$, с $\omega = 2\pi$ рад/с и $\varphi = \pi/4$. Вычислите $\theta(0)$ и $\theta(1)$. Какой котерминальный угол $\theta(1)$ в $[0, 2\pi)$?

Проверьте, что три единичных вектора, равномерно распределённые на 120°, суммируются в нуль: $\sum_{k=0}^{2}\cos(2\pi k/3) = 0$ и $\sum_{k=0}^{2}\sin(2\pi k/3) = 0$.

Вызов. Докажите, что сумма $N$ корней единства равна нулю: $\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = 0$ для $N \geq 2$. Используйте сумму геометрической прогрессии. Дайте геометрическую интерпретацию как вершины правильного многоугольника.