Lição 13 — Funções trigonométricas

Esboce $y = 2\sin x$ em $[0, 2\pi]$. Identifique amplitude e período.

Para $y = \sin(2x)$, qual é o período?

Para $y = \cos(x/2)$, qual é o período?

Esboce $y = \sin(x - \pi/4)$ em $[0, 2\pi]$. Indique amplitude, período e defasagem.

Identifique a imagem de $y = 3\sin x + 1$.

Identifique amplitude, período, fase e imagem em $y = 4\sin(3x - \pi)$.

Identifique a imagem de $y = 2\cos x - 1$.

Para $y = \sin(\pi t)$, qual o período em segundos?

Para $y = \cos(2\pi t/T)$, mostre que o período é $T$.

Esboce $y = \tan x$ em $(-\pi/2,\, \pi/2)$ e descreva as assíntotas verticais.

Resolva $\sin x = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\cos x = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\tan x = 1$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin x = -\sqrt{2}/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\cos(2x) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin x = \cos x$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $2\sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin^2 x = 1/4$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin(x + \pi/3) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\tan(2x) = \sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ em $[0, 2\pi)$.

A função $f(x) = \sin x + 3$ tem período $2\pi$?

A maré em Salvador oscila entre $0{,}5$ m e $2{,}5$ m com período $12$ h. Em $t = 0$ a maré está no nível médio e subindo. Modele $h(t)$.

Rede elétrica brasileira: $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Calcule a tensão eficaz.

Roda gigante: raio 10 m, eixo a 12 m do solo, 1 volta a cada 4 min. Parte do ponto mais baixo em $t = 0$. Modele a altura $h(t)$.

Som puro de referência: $p(t) = A\sin(880\pi t)$. Qual a frequência em Hz?

A temperatura média mensal em Brasília oscila entre $18°$C (julho, $m = 7$) e $23°$C (janeiro, $m = 1$). Modele $T(m)$ com $m$ em meses.

Pêndulo de $L = 1$ m, $g = 9{,}81$ m/s². Usando $\omega = \sqrt{g/L}$, calcule o período.

Sistema massa-mola: $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m. Calcule a frequência angular $\omega = \sqrt{k/m}$.

Em MHS, $x(t) = 5\sin(2\pi t)$ cm. Qual a velocidade máxima?

Marés M2 (semidiurnas lunares): período $T = 12$ h $25$ min. Frequência em Hz?

Estrela cefeida: brilho varia com $T = 5{,}4$ dias, amplitude $0{,}8$ mag em torno de $4{,}5$ mag. Modele a magnitude $m(t)$.

Sinal GPS L1: portadora de $1\,575{,}42$ MHz. Calcule o período em segundos.

O comprimento de um pêndulo é quadruplicado. O que acontece com o período?

Verifique: $\sin x + \sin(x + \pi) = 0$ para todo $x$.

Mostre que $\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0$. (Resultado fundamental em motores trifásicos.)

Demonstre que $A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) = \sqrt{A^2+B^2}\,\sin(\omega t + \varphi)$ com $\tan\varphi = B/A$.

Resolva $\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Demonstre a identidade $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Demonstre que $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ usando a definição via círculo trigonométrico.