Урок 14 — Тригонометрические уравнения и неравенства

Структура решений

Уравнения с синусом

Для $\sin x = a$ при $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Где $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ — главная обратная функция.

Уравнения с косинусом

Для $\cos x = a$ при $a \in [-1, 1]$: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Где $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Уравнения с тангенсом

Для $\tan x = a$ при $a \in \mathbb{R}$: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Где $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Общий рецепт

Чтобы решить тригонометрическое $f(x) = 0$:

1. Свести к основным уравнениям $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ через тождества.
2. Перечислить все решения на промежутке $[0, 2\pi)$ (или $[-\pi, \pi]$).
3. Обобщить прибавлением $2k\pi$ (или $k\pi$ для тангенса).