Урок 15 — Теорема синусов и теорема косинусов

Доказательства и применение

Теорема синусов

Доказательство (для остроугольного треугольника): построим высоту $h$ из вершины $C$ к стороне $\overline{AB}$. Тогда $h = b \sin A = a \sin B$. Следовательно $a/\sin A = b/\sin B$. Тот же аргумент для $c$. ∎

Особый случай (прямой угол в $C$): $\sin C = 1$, тогда $c = 2R$ — гипотенуза является диаметром описанной окружности. Теорема Фалеса (геометрическая).

Теорема косинусов

Доказательство: через скалярное произведение векторов $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Поскольку $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$, получаем $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. ∎

Когда применять каждую теорему

Неоднозначный случай (SSA)

Даны $a$, $b$ и $A$ (угол, противолежащий $a$): возможно 0, 1 или 2 треугольника. Решение:

• Если $a \geq b$: 1 треугольник.
• Если $a < b \sin A$: 0 треугольников (геометрически невозможно).
• Если $b \sin A < a < b$: 2 треугольника.