v1 · padrão canônico

Урок 16 — Числовые последовательности

Последовательность как функция с областью ℕ. Рекуррентные соотношения, монотонность, ограниченность. Предчувствие пределов.

Used in: 1.º год старшей школы (15 лет) · Math B японский (гл. 数列) · Calculus I — США — preview

(a_n)_{n \in \mathbb{N}}, \quad a_n = f(n)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Определение и свойства

Как описать последовательность

Явная формула (общий член): $a_n = 2n + 1$ — члены $3, 5, 7, 9, \ldots$
Рекуррентное соотношение: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2$ — тот же результат.
По описанию: "n-ое простое число" — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (нет замкнутой формулы).

Монотонность

Возрастающая: $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$ .
Неубывающая: $a_{n+1} \geq a_n$ .
Убывающая: $a_{n+1} < a_n$ .
Постоянная: $a_{n+1} = a_n$ .

Ограниченность

$(a_n)$ ограничена, если существует $M > 0$ такое, что $|a_n| \leq M$ для всех $n$ . Ограничена сверху, если $a_n \leq M_+$ ; ограничена снизу, если $a_n \geq M_-$ .

Интуитивная сходимость (формализована в Уроке 41)

$(a_n)$ сходится к $L$ , если " $a_n$ становится произвольно близко к $L$ при больших $n$ ". Формально: $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$

Известные последовательности

Название	Определение	Члены
Натуральные	$a_n = n$	$1, 2, 3, \ldots$
Квадраты	$a_n = n^2$	$1, 4, 9, 16, \ldots$
Гармоническая	$a_n = 1/n$	$1, 1/2, 1/3, \ldots$
Фибоначчи	$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , $F_1 = F_2 = 1$	$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
Геометрическая	$a_n = q^n$	$q, q^2, q^3, \ldots$

"A sequence is just a list of numbers, but in Math 2E we make this list infinite." — Active Calculus §8.2

Решённые примеры

Example— 1· Список членов из явной формулы

Задача: Выпишите первые 5 членов последовательности $a_n = 2n + 1$ .

Стратегия: Подставить $n = 1, 2, 3, 4, 5$ и вычислить каждый $a_n$ .

Решение:

$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ .
$a_2 = 2(2) + 1 = 5$ .
$a_3 = 2(3) + 1 = 7$ .
$a_4 = 2(4) + 1 = 9$ .
$a_5 = 2(5) + 1 = 11$ .

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 3, 5, 7, 9, 11.$

Проверка: Разность между последовательными членами постоянна $= 2$ — характеристика арифметической прогрессии с $a_1 = 3$ и разностью $d = 2$ . Совпадает с $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$ . Верно.

Источник. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Вычисление членов рекуррентного соотношения

Задача: Вычислите первые 6 членов последовательности Фибоначчи, определённой как $F_1 = F_2 = 1$ и $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ .

Стратегия: Применить рекуррентное соотношение многократно, суммируя два последних члена для получения следующего.

Решение:

$F_1 = 1$ (дано).
$F_2 = 1$ (дано).
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$ .
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$ .
$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$ .
$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$ .

$F_1, \ldots, F_6 = 1, 1, 2, 3, 5, 8.$

Проверка: Отношение $F_{n+1}/F_n$ стремится к золотому сечению $\phi = (1 + \sqrt 5)/2 \approx 1{,}618$ . $F_6/F_5 = 8/5 = 1{,}6$ . Идёт хорошо.

Источник. Hammack — Book of Proof §10.4 — свободная лицензия.

Example— 3· Нахождение явной формулы из членов

Задача: Найдите общий член последовательности $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{32}, \ldots$

Стратегия: Выявить закономерность. Каждый член — половина предыдущего — геометрическая последовательность с знаменателем $1/2$ . Общий член $a_n$ должен иметь $2^n$ в знаменателе.

Решение:

Наблюдаем закономерность. $a_1 = 1/2 = 1/2^1$ . $a_2 = 1/4 = 1/2^2$ . $a_3 = 1/8 = 1/2^3$ .
Предполагаем. $a_n = 1/2^n$ .
Проверяем. $a_4 = 1/2^4 = 1/16$ . $a_5 = 1/2^5 = 1/32$ . Оба совпадают.

$a_n = \frac{1}{2^n}.$

Проверка: Знаменатель $a_{n+1}/a_n = (1/2^{n+1})/(1/2^n) = 1/2$ . Подтверждает наблюдаемый знаменатель.

Источник. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — лицензия CC-BY-SA.

Example— 4· Монотонность и ограниченность

Задача: Покажите, что последовательность $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ убывает и ограничена снизу единицей.

Стратегия: Для убывания показать $a_{n+1} - a_n < 0$ . Для ограниченности снизу единицей показать $a_n > 1$ для всех $n$ .

Решение:

Переписать. $a_n = 1 + 1/n$ .
Показать убывание. $a_{n+1} - a_n = (1 + 1/(n+1)) - (1 + 1/n) = 1/(n+1) - 1/n = (n - (n+1))/(n(n+1)) = -1/(n(n+1)) < 0$ . Итак $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \geq 1$ .
Показать ограниченность снизу. Так как $1/n > 0$ для всех $n \geq 1$ , $a_n = 1 + 1/n > 1$ . Поэтому $a_n > 1$ — нижняя граница.
Последовательность также ограничена сверху величиной $a_1 = 2$ (первый член, максимум убывающей последовательности).

$a_n \in (1, 2]\ \text{для всех}\ n \geq 1,\ \text{и убывает.}$

Проверка: $a_1 = 2$ , $a_2 = 3/2 = 1{,}5$ , $a_3 = 4/3 \approx 1{,}333$ , $a_{10} = 1{,}1$ , $a_{1000} = 1{,}001$ . Каждый член меньше предыдущего и больше 1. Когда $n$ растёт, $a_n \to 1$ . Совпадает с теорией.

Источник. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — лицензия CC-BY-SA.

Example— 5· Охлаждение кофе как рекуррентное соотношение (реальное моделирование)

Задача: Температура охлаждающегося кофе следует $T_n = 65 \cdot (0{,}9)^n + 25$ , где $n$ — время в минутах, и начальная температура $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. К какому значению стремится $T_n$ при $n \to \infty$ ?

Стратегия: Часть $(0{,}9)^n$ — геометрическая последовательность со знаменателем между 0 и 1, поэтому стремится к 0. Предел всей последовательности — константный член.

Решение:

Выявить структуру. $T_n = A \cdot q^n + B$ с $A = 65$ , $q = 0{,}9$ , $B = 25$ .
Поведение $q^n$ . Так как $|q| = 0{,}9 < 1$ , $q^n \to 0$ при $n \to \infty$ .
Интуитивно подставить. $T_n \to 65 \cdot 0 + 25 = 25$ °C.
Физическая интерпретация. Значение $25$ °C — температура окружающей среды. Кофе охлаждается асимптотически до этой температуры (закон Ньютона охлаждения в дискретной форме).

$\lim_{n \to \infty} T_n = 25\ °\text{C}.$

Проверка: $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. $T_5 = 65 \cdot (0{,}9)^5 + 25 \approx 65 \cdot 0{,}59 + 25 \approx 63{,}4$ °C — согласуется с тёплым кофе через 5 минут. Предел остаётся $25$ °C.

Источник. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

38 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 18Modeling 1Proof 2

Ex. 16.1Application
Выпишите 5 первых членов $a_n = 2n + 1$ .
Solve online
Ex. 16.2Application
Выпишите 5 первых членов $a_n = (-1)^n / n$ .
Solve online
Ex. 16.3Application
Выпишите 5 первых членов $a_n = n^2 - n$ .
Solve online
Ex. 16.4Application
Найдите общий член для $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$
Solve online
Ex. 16.5Application
Найдите общий член для $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$
Solve online
Ex. 16.6Application
Найдите общий член для $1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \ldots$
Solve online
Ex. 16.7Application
Найдите общий член для $-1, 1, -1, 1, -1, \ldots$
Solve online
Ex. 16.8Application
Вычислите $a_{20}$ для $a_n = 3n - 1$ .
Solve online
Ex. 16.9Application
Для какого $n$ верно $a_n = 100$ , если $a_n = 2n - 4$ ?
Solve online
Ex. 16.10Application
Сколько членов последовательности $a_n = 5n - 1$ меньше чем $200$ ?
Solve online
Ex. 16.11Application
Последовательность: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3 a_n + 1$ . Вычислите 5 первых членов.
Solve online
Ex. 16.12Application
Фибоначчи: $F_1 = F_2 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Вычислите до $F_{10}$ .
Solve online
Ex. 16.13Application
Последовательность: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2n$ . Вычислите до $a_5$ .
Solve online
Ex. 16.14Understanding
Покажите, что последовательность Фибоначчи удовлетворяет $F_n^2 - F_{n-1} F_{n+1} = (-1)^{n-1}$ (тождество Кассини). Проверьте для $n = 2$ и $n = 3$ .
Solve online
Ex. 16.15Application
Найдите явную формулу для $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = 2 a_n$ .
Solve online
Ex. 16.16Application
Последовательность: $a_1 = 5$ , $a_{n+1} = a_n - 2$ . Определите общий член $a_n$ .
Solve online
Ex. 16.17ProofAnswer key
Покажите по индукции, что $a_n = 2^n - 1$ удовлетворяет $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 2 a_n + 1$ .
Solve online
Ex. 16.18Understanding
Последовательность $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ (итерация Ньютона для $\sqrt 2$ ). Вычислите $a_2, a_3, a_4$ и сравните с $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$ .
Solve online
Ex. 16.19Understanding
Покажите, что последовательность $a_{n+1} = a_n^2 - 2$ с $a_1 = 3$ взрывается (идёт в бесконечность).
Solve online
Ex. 16.20UnderstandingAnswer key
Моделируйте последовательность "число пар кроликов в n-ом месяце" (Фибоначчи) и обоснуйте рекуррентное соотношение.
Solve online
Ex. 16.21Understanding
Покажите, что $a_n = (n+1)/n$ убывает и ограничена снизу единицей.
Solve online
Ex. 16.22Understanding
Покажите, что $a_n = 2 - 1/n$ возрастает и ограничена сверху 2.
Solve online
Ex. 16.23UnderstandingAnswer key
Последовательность $a_n = (-1)^n n$ ограничена? Возрастает?
Solve online
Ex. 16.24UnderstandingAnswer key
Покажите, что $a_n = 1/n^2$ убывает и ограничена 1.
Solve online
Ex. 16.25Understanding
Для какого $n$ верно $a_n = 1/n < 0{,}001$ ?
Solve online
Ex. 16.26Understanding
Покажите, что $a_n = (1 + 1/n)^n$ возрастает. (Трудно — preview числа $e$ .)
Solve online
Ex. 16.27Understanding
Последовательность $a_n = \sin(n)$ ( $n$ в радианах) ограничена? Сходится?
Solve online
Ex. 16.28UnderstandingAnswer key
Для последовательности $a_n = n/(n+1)$ , начиная с какого $n$ верно $a_n > 0{,}99$ ?
Solve online
Ex. 16.29UnderstandingAnswer key
К какому значению "приближается" $a_n = 1/n$ при $n \to \infty$ ?
Solve online
Ex. 16.30UnderstandingAnswer key
К какому значению приближается $a_n = (n + 5)/n$ при $n \to \infty$ ?
Solve online
Ex. 16.31UnderstandingAnswer key
Последовательность $a_n = (-1)^n$ сходится? Обоснуйте интуитивно.
Solve online
Ex. 16.32Understanding
К какому значению приближается $a_n = (3n^2 + 2)/(n^2 + 1)$ ?
Solve online
Ex. 16.33Understanding
Последовательность $a_n = 2^n$ сходится? Обоснуйте.
Solve online
Ex. 16.34UnderstandingAnswer key
Последовательность $a_n = (1/2)^n$ приближается к чему? Вычислите первые 4 члена для иллюстрации.
Solve online
Ex. 16.35Modeling
Моделируйте температуру охлаждающегося кофе: $T_n = 65 \cdot 0{,}9^n + 25$ каждую минуту. К какому значению стремится?
Solve online
Ex. 16.36Application
Выпишите 5 первых членов $a_n = \dfrac{2n}{n^2+1}$ .
Solve online
Ex. 16.37Application
Последовательность $a_n = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$ (частичные суммы). Выпишите 5 первых членов.
Solve online
Ex. 16.38Proof
Покажите по индукции, что $F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ .
Solve online

Источники

Basic Analysis: Introduction to Real Analysis (Vol. I) — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2.1: последовательности, монотонность, ограниченность, сходимость.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2: последовательности и интуитивная сходимость.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3-е изд · EN · свободная · гл. 10: математическая индукция и рекуррентные соотношения.
Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2-е изд · EN · CC-BY 4.0 · §11.1: введение в последовательности и обозначение.