Урок 17 — Арифметические прогрессии (АП)

АП с $a_1 = 1$ и $r = 3$. Найдите $a_{10}$.

АП с $a_1 = 100$ и $r = -7$. Найдите $a_{15}$.

В АП $a_5 = 17$ и $a_{10} = 32$. Определите $a_1$ и $r$.

В АП $a_3 = 10$ и $a_8 = 35$. Определите общий член.

Сколько членов в конечной АП $5, 8, 11, \ldots, 200$?

АП имеет общий член $a_n = 4n - 1$. Чему равны $a_1$ и $r$?

АП с $a_1 = 5$, $a_{19} = 95$. Найдите $r$.

Определите $x$ так, чтобы $3x - 1$, $x + 5$, $2x + 9$ образовали в этом порядке АП.

В АП $a_2 + a_8 = 26$ и $a_3 = 10$. Найдите $a_1$ и $r$.

Вставьте 4 арифметических средних между 3 и 18.

Вычислите $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$.

Вычислите $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ — классическая задача Гаусса.

Вычислите сумму чётных: $2 + 4 + 6 + \ldots + 100$.

Вычислите сумму нечётных: $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$.

Вычислите сумму первых 30 членов АП $5, 9, 13, 17, \ldots$

В АП $a_1 = 4$ и $a_{20} = 80$. Вычислите $S_{20}$.

Вычислите $\sum_{k=1}^{50} (2k - 1)$.

Сколько членов АП $1, 4, 7, 10, \ldots$ в сумме дают $\geq 1\,000$?

Вычислите сумму кратных 3 между 1 и 100.

Сумма первых $n$ членов АП — $S_n = 3n^2 + n$. Определите общий член $a_n$.

Вы откладываете 50 реалов в первый месяц, 60 во второй, 70 в третий и так далее. Сколько отложили за 2 года (24 месяца)?

Театр имеет 20 рядов: первый имеет 25 мест, каждый следующий ряд имеет 3 больше. Сколько мест всего?

При свободном падении $d_n = g(2n-1)/2$ с $g \approx 9{,}81$ м/с². Проверьте, что образует АП, и вычислите общее расстояние за 5 сек.

Часы бьют каждый час: 1 удар в 1ч, 2 в 2ч, ..., 12 в 12ч. Сколько ударов за 12 часов?

Начальный оклад 3500 реалов/месяц с ежегодным повышением на 300 реалов. Вычислите общий накопленный доход (сумма ежемесячных платежей) за 10 лет.

Свайный фундамент здания измеряет 0,5 м на первом уровне, 1 м на втором, 1,5 м на третьем и т.д. Сколько уровней для общей глубины $\geq$ 50 м?

Ежемесячная инфляция: $0{,}5\%$, $0{,}6\%$, $0{,}7\%$, $\ldots$ Вычислите совокупную инфляцию приблизительно (через линейную сумму АП) за 12 месяцев.

Сумма чисел от 1 до 1000. Используйте Гаусса.

В первый час 50 задач; каждый следующий час даёт на 5 меньше от усталости. Сколько задач за 8 часов?

Для подряда деревьев, посаженных через каждые 5 м, сколько забора нужно для соединения 100 деревьев в ряду?

Докажите по индукции, что $\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Докажите по индукции, что если $(a_n)$ — АП с разностью $r$, то $a_n = a_1 + (n-1)\,r$.

Найдите АП из 5 членов такую, что $a_1 + a_5 = 12$ и $a_2 \cdot a_4 = 30$.

Покажите, что в АП $a_p + a_q = a_m + a_n$ всегда, когда $p + q = m + n$.

Используйте формулу суммы для вычисления $1 + 2 + 3 + \ldots + 1\,000\,000$.

Пирамида имеет 1 кирпич на вершине и растёт на 1 по уровню до основания. Сколько кирпичей всего, если основание имеет 60 рядов?

Вычислите сумму первых 100 нечётных чисел.

"В каждой АП последовательность разностей $a_{n+1} - a_n$ постоянна." Истина или ложь?

В конечной АП с 49 членами, какова позиция центрального члена? Какая связь между центральным членом и суммой $S_{49}$?

В убывающей АП ($r < 0$) с $a_1 > 0$, найдите максимум $n$ такой что $S_n > 0$. Выразите в функции $a_1$ и $|r|$.