Урок 18 — Геометрические прогрессии (ГП)

Определение и формулы

Общий член

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Сумма первых $n$ членов

Для $q \neq 1$: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Доказательство: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Умножим на $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ Вычитая: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, откуда $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Бесконечная сумма (сходящаяся ГП)

Если $|q| < 1$, то $q^n \to 0$ при $n \to \infty$. Следовательно:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

Это геометрический ряд, центральная часть рядов Тейлора (Trim 9).

Поведение

• $q > 1$: ГП растёт экспоненциально.
• $q = 1$: постоянна.
• $0 < q < 1$: убывает, сходится к 0.
• $q = -1$: колеблется $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$: колеблется с растущей амплитудой.