v1 · padrão canônico

Урок 20 — Консолидация Семестр 2: тригонометрия, последовательности и интуитивный предел

Интегрированный семинар для уроков 11-19. Задачи, объединяющие тригонометрию, АП, ГП и интуитивный предел — синтез перед Семестром 3.

Used in: 1.º год старшей школы (15 лет) · Аналог японской Math II — повторение раздела · Аналог немецкого Klasse 10 — Abschlusstest · Аналог сингапурского O-Level — End-of-topic consolidation

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,\quad a_n = a_1 + (n{-}1)r,\quad S_\infty = \frac{a_1}{1-q},\quad \lim_{n\to\infty}a_n = L

Книги, охватывающие этот урок

OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e
· §7–11 (триг, последовательности, серии) · CC-BY 4.0 · Полное охватывание Семестра 2 — треугольники, тригонометрические функции, уравнения, АП, ГП, серии. Основной источник упражнений.
Stitz–Zeager — Precalculus
· §10–11 (триг), §9 (последовательности) · CC-BY-NC-SA · Интегрированное изложение периодической тригонометрии и последовательностей с прикладным моделированием.
Boelkins — Active Calculus
· §8.2–8.3 (последовательности и серии) · CC-BY-NC-SA · Последовательности как аналитические объекты, геометрический ряд и сходимость — прямой мост на Год 2.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Строгий синтез Семестра 2

Этот урок не вводит новый контент. Он консолидирует инструменты из Уроков 11-19 и устанавливает связи между ними.

Тригонометрия — структура

Definition· Фундаментальные тождества Семестра 2

Пусть $\theta \in \mathbb{R}$ (угол в радианах). Три центральных тождества:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad \text{(пифагорова)}$

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \quad \text{(сложение)}$

$\sin A + \sin B = 2\sin\!\frac{A+B}{2}\cos\!\frac{A-B}{2} \quad \text{(сумма-произведение)}$

Для произвольных треугольников ( $ABC$ со сторонами $a, b, c$ противолежащими углам $A, B, C$ ):

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \quad \text{(закон синусов)}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \quad \text{(закон косинусов)}$

"Сумма-произведение преобразует сумму синусов в произведение синусов и косинусов — существенно для упрощения уравнений с несколькими углами." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4

Последовательности — структура

Definition· АП, ГП и интуитивный предел

Арифметическая прогрессия (АП): $a_n = a_1 + (n-1)r$ . Сумма первых $n$ членов: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Геометрическая прогрессия (ГП): $a_n = a_1 q^{n-1}$ . Для $q \neq 1$ частичная сумма: $S_n = a_1\frac{q^n - 1}{q - 1}$

Бесконечный геометрический ряд: если $|q| < 1$ , ряд сходится: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$

Интуитивный предел: последовательность $(a_n)$ имеет предел $L$ , если после некоторого индекса все члены находятся настолько близко к $L$ , насколько желательно. Обозначение: $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

"Ключевая идея: если $|r| < 1$ , геометрический ряд сходится к $\dfrac{a}{1-r}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4

"Последовательность $\{a_n\}$ сходится к $L$ , если для каждого $\varepsilon > 0$ существует индекс $N$ такой, что $|a_n - L| < \varepsilon$ для всех $n \geq N$ ." — Active Calculus §8.2

Карта связей между темами

Карта зависимостей между темами Семестра 2. Стрелки указывают на использование одного блока другим.

Решенные примеры

Example— 1· АП: общий член и сумма Гаусса

Задача. АП с $a_1 = 3$ и $r = 5$ . Вычислите $a_{20}$ и $S_{20}$ .

Стратегия. Применить непосредственно $a_n = a_1 + (n-1)r$ и $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ .

Решение.

Общий член. $a_{20} = 3 + 19 \cdot 5 = 3 + 95 = 98$ .
Сумма. $S_{20} = 20(3 + 98)/2 = 10 \cdot 101 = 1\,010$ .

Проверка. Среднее значение членов: $(3 + 98)/2 = 50{,}5$ . Сумма $= 50{,}5 \times 20 = 1\,010$ . ✓

Источник. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.2 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Тригонометрическое уравнение с множественным аргументом

Задача. Решите $\sin(2x) = 1/2$ в $[0, 2\pi)$ .

Стратегия. Подставьте $u = 2x$ , решите $\sin u = 1/2$ в расширенном интервале $[0, 4\pi)$ , затем разделите на 2.

Решение.

Подставьте $u = 2x$ . Для $x \in [0, 2\pi)$ , имеем $u \in [0, 4\pi)$ .
Решите $\sin u = 1/2$ . В 1.й четверти: $u_0 = \pi/6$ . Во 2.й: $u_1 = 5\pi/6$ . Добавляя $2\pi$ : $u_2 = \pi/6 + 2\pi = 13\pi/6$ и $u_3 = 5\pi/6 + 2\pi = 17\pi/6$ .
Вернитесь к $x = u/2$ . $x = \pi/12,\; 5\pi/12,\; 13\pi/12,\; 17\pi/12$ .

Проверка. $\sin(2 \cdot \pi/12) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓. $\sin(2 \cdot 13\pi/12) = \sin(13\pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓.

Источник. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.5 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Бесконечная ГП — прыгающий мяч

Задача. Мяч падает с 10 м и с каждого подскока поднимается на 70% от предыдущей высоты. Какое общее расстояние пройдено (спуск и подъем)?

Стратегия. Разделите на две бесконечные ГП — падения и подъемы. Используйте $S_\infty = a_1/(1-q)$ для каждой.

Решение.

Падения. $10 + 7 + 4{,}9 + \ldots = 10/(1-0{,}7) = 10/0{,}3 \approx 33{,}33$ м.
Подъемы. $7 + 4{,}9 + \ldots = 7/(1-0{,}7) = 7/0{,}3 \approx 23{,}33$ м.
Итого. $33{,}33 + 23{,}33 \approx 56{,}67$ м.

Проверка. Консолидированная формула: итого $= h \cdot (1+q)/(1-q) = 10 \cdot 1{,}7/0{,}3 \approx 56{,}67$ м. ✓

Источник. Active Calculus §8.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Прилив и тригонометрическое уравнение

Задача. Высота прилива в Сальвадоре $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ (в метрах, $t$ в часах). (a) Когда $h = 1{,}5$ ? (b) Когда $h$ максимально?

Стратегия. (a) Решите $\sin(\pi t/6) = 0$ . (b) Решите $\sin(\pi t/6) = 1$ .

Решение.

(a) $\sin(\pi t/6) = 0 \Rightarrow \pi t/6 = k\pi \Rightarrow t = 6k$ . В $0 \leq t \leq 24$ : $t = 0, 6, 12, 18, 24$ часов.
(b) $\sin(\pi t/6) = 1 \Rightarrow \pi t/6 = \pi/2 + 2k\pi \Rightarrow t = 3 + 12k$ . За день: $t = 3$ ч и $t = 15$ ч.
Максимальная высота. $h_{\max} = 1{,}5 + 1 = 2{,}5$ м.

Проверка. Период $T = 2\pi/(\pi/6) = 12$ ч — два высоких прилива в день, согласуется с действительностью. ✓

Источник. Stitz–Zeager Precalculus §11.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Тригонометрическая сумма по тождеству сумма-произведение

Задача. Решите $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ в $[0, 2\pi)$ .

Стратегия. Сгруппируйте $\sin x + \sin 3x$ и применяйте тождество сумма-произведение: $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ .

Решение.

Сгруппируйте. $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x$ (с $A = 3x$ , $B = x$ , среднее $= 2x$ , полуразность $= x$ ).
Подставьте. $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = \sin 2x(2\cos x + 1) = 0$ .
Случай 1: $\sin 2x = 0$ . $2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$ . В $[0, 2\pi)$ : $x = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ .
Случай 2: $2\cos x + 1 = 0$ . $\cos x = -1/2 \Rightarrow x = 2\pi/3$ или $x = 4\pi/3$ .
Набор решений. $x \in \{0,\; \pi/2,\; 2\pi/3,\; \pi,\; 4\pi/3,\; 3\pi/2\}$ .

Проверка. $x = 2\pi/3$ : $\sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) + \sin(2\pi) = \frac{\sqrt 3}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} + 0 = 0$ . ✓

Источник. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4 — CC-BY 4.0.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 13Understanding 3Modeling 9Challenge 6Proof 4

Ex. 20.1Application
Решите $\sin(2x) = 1/2$ в $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.2Application
Треугольник с $a = 5$ , $\hat A = 30°$ , $\hat B = 60°$ . Вычислите $b$ по закону синусов.
Solve online
Ex. 20.3Application
Треугольник со сторонами 7, 8, 9. Какой наибольший угол?
Solve online
Ex. 20.4Application
Определите амплитуду, период и фазовый сдвиг $y = 2\sin(\pi x/3)$ .
Solve online
Ex. 20.5Application
Вычислите $\sin(\pi/3)$ , $\cos(7\pi/4)$ и $\tan(5\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 20.6Modeling
Прилив в Сальвадоре: $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ (м, $t$ в ч). (a) Когда $h = 1{,}5$ ? (b) Когда $h$ максимально?
Solve online
Ex. 20.7Modeling
Напряжение сети: $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ В. Вычислите эффективное напряжение $V_{ef} = V_0/\sqrt 2$ .
Solve online
Ex. 20.8ModelingAnswer key
Вы находитесь в 100 м от башни. Угол возвышения вершины $30°$ . Вычислите высоту башни.
Solve online
Ex. 20.9Application
Решите $\cos x + \sin x = 1$ в $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.10Understanding
Дан треугольник с $\hat A$ , $a$ (сторона противолежащая $A$ ) и $b$ (прилежащая сторона). Какой закон использовать, чтобы найти $\hat B$ ? Почему?
Solve online
Ex. 20.11Proof
Докажите закон синусов $\sin A/a = \sin B/b$ используя высоту вершины $C$ .
Solve online
Ex. 20.12ApplicationAnswer key
АП с $a_1 = 3$ и $r = 5$ . Вычислите $a_{20}$ и $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 20.13ApplicationAnswer key
ГП с $a_1 = 4$ и $q = 3$ . Вычислите $a_8$ и $S_8$ .
Solve online
Ex. 20.14Application
Вычислите $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n$ .
Solve online
Ex. 20.15Application
Определите предел $a_n = (n+1)/n$ при $n \to \infty$ .
Solve online
Ex. 20.16Application
Вставьте 4 члена, образующие АП между 5 и 25.
Solve online
Ex. 20.17Modeling
Вы вносите 100 р. каждый месяц под 5% в месяц составленно. Баланс через 12 месяцев?
Solve online
Ex. 20.18Modeling
Мяч падает с 10 м и с каждого подскока поднимается на 70% предыдущей высоты. Общее пройденное расстояние?
Solve online
Ex. 20.19Understanding
Покажите, что $0{,}999\ldots = 1$ используя сумму бесконечной ГП. Результат точный или приблизительный?
Solve online
Ex. 20.20Modeling
Бактерии удваиваются каждые 20 мин. Первоначально 1.000. Сколько через 3 часа?
Solve online
Ex. 20.21ChallengeAnswer key
Последовательность $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = (a_n + 5)/2$ . На какое значение сходится?
Solve online
Ex. 20.22Application
Ежемесячная инфляция 0,5% составленная. Какая накопленная инфляция в 12 месяцев?
Solve online
Ex. 20.23Challenge
За сколько лет 1.000 р. удваиваются при 6% г.а. с непрерывным начислением?
Solve online
Ex. 20.24ChallengeAnswer key
Решите $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ в $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.25Modeling
Глубина погружения: $d(t) = 100 + 30\sin(\pi t/30)$ м. Когда $d = 130$ м? Какой период колебания?
Solve online
Ex. 20.26Modeling
Два пешехода выходят из одной точки: один проходит 5 км, другой 8 км в направлении 60° к первому. Расстояние между ними?
Solve online
Ex. 20.27Challenge
Определите закономерность и определите общий член и $S_n$ последовательности $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
Solve online
Ex. 20.28ApplicationAnswer key
Сходящаяся бесконечная ГП с причиной $1/3$ и сумма $S_\infty = 12$ . Найдите $a_1$ .
Solve online
Ex. 20.29Modeling
Бактерии удваиваются каждые 2 часа. Начинаю с 1.000, за сколько времени достигают 32.000?
Solve online
Ex. 20.30Understanding
Какая из нижеперечисленных последовательностей НЕ является АП ни ГП?
Solve online
Ex. 20.31Challenge
Последовательность $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \cos(a_n)$ (в радианах). На какое значение сходится? (Вычислите первые 4 члена на бумаге.)
Solve online
Ex. 20.32ProofAnswer key
Докажите, что $\lim_{n\to\infty} \sin n/n = 0$ по теореме сжатия.
Solve online
Ex. 20.33ProofAnswer key
Докажите, что в равностороннем треугольнике со стороной $\ell$ , площадь $\ell^2\sqrt 3/4$ через формулу $A = (1/2)ab\sin C$ .
Solve online
Ex. 20.34Challenge
Вычислите $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ и покажите, что сумма 1.
Solve online
Ex. 20.35Proof
Докажите, что $\lim_{n\to\infty}(1 + 1/n)^n$ существует используя монотонию + ограничение сверху 3.
Solve online

Источники

OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §7–11 (тригонометрия, последовательности, серии). Основной источник списка упражнений.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9–11. Источник примеров триго. моделирования и телескопического ряда.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2–8.3 (последовательности и серии). Источник упражнений сходимости, неподвижной точки и прыгающего мяча.

Полный каталог на /livros.