Урок 21 — Декартова плоскость: расстояние, середина отрезка

Вычисли $d(A, B)$ для $A = (1, 2)$ и $B = (4, 6)$. (Отв: 5.)

Вычисли расстояние между началом координат $(0, 0)$ и точкой $(3, 4)$. (Отв: 5.)

Вычисли расстояние между $(-2, 1)$ и $(3, -4)$. (Отв: $5\sqrt{2}$.)

Вычисли $d(P, Q)$ для $P = (2, -3)$ и $Q = (-4, 1)$. (Отв: $2\sqrt{13}$.)

Вычисли расстояние между $(5, 0)$ и $(0, 12)$. (Отв: 13.)

Определи $x$ такое, что $d((x, 3), (5, 7)) = 5$.

Определи $y$ такое, что $(0, y)$ находится на расстоянии 13 единиц от $(5, 0)$.

Точки $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (-2, 4)$. Вычисли периметр треугольника $ABC$. (Отв: $\approx 15{,}33$.)

Проверь, образуют ли $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (5, -3)$ прямоугольный треугольник. Обоснуй, вычисляя три стороны.

Найди точку $P$ на оси $x$, равноудалённую от $(2, 5)$ и $(8, 1)$.

Вершины четырёхугольника $(0,0), (4,0), (4,3), (0,3)$. Вычисли периметр. (Отв: 14.)

Определи, образуют ли $(1,2), (5,2), (5,5), (1,5)$ прямоугольник. Вычисли стороны и диагонали.

Найди середину отрезка между $(2, 5)$ и $(6, 9)$. (Отв: $(4, 7)$.)

Найди середину отрезка между $(-3, 2)$ и $(7, -8)$. (Отв: $(2, -3)$.)

Середина отрезка $\overline{AB}$ равна $M = (1, 3)$ и $A = (-3, 7)$. Найди $B$.

Вычисли центроид треугольника с вершинами $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,9)$. (Отв: $(2, 3)$.)

Найди точку, которая делит $\overline{PQ}$ в отношении $1:3$, где $P = (2,3)$ и $Q = (10,11)$. (Отв: $(4, 5)$.)

Покажи, что треугольник с вершинами $(0,0), (4,3), (8,0)$ равнобедренный. Вычисли три стороны.

Проверь, что точки $(0,0), (6,0), (3, 3\sqrt{3})$ образуют равносторонний треугольник.

Вычисли площадь треугольника с вершинами $(0,0), (4,0), (0,3)$. (Отв: 6.)

Вычисли площадь треугольника с вершинами $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (8, 2)$. (Отв: 12,5.)

Четырёхугольник $A=(0,0)$, $B=(4,2)$, $C=(6,5)$, $D=(2,3)$ параллелограмм? Вычисли стороны и диагонали и обоснуй.

Напиши формулу расстояния от начала координат к произвольной точке $(a, b)$. (Отв: $\sqrt{a^2 + b^2}$.)

Напиши общую формулу середины отрезка между $(a, b)$ и $(c, d)$.

Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$. Какая это фигура?

Множество точек, равноудалённых от $A = (-2, 0)$ и $B = (2, 0)$. Какую прямую они образуют?

Эскиз и описание множества точек $(x, y)$ с $|x| + |y| = 1$. Какая это геометрическая фигура?

Ты находишься в $(2, 3)$ км и хочешь доехать до $(8, 11)$ км. Вычисли расстояние по прямой и оцени реальное расстояние по улицам, используя коэффициент извилистости 1,3. (Отв: прямая = 10 км; оценка = 13 км.)

В городе-сетке (типа Манхэттена) вычисли расстояние такси ($\ell_1$) и евклидово ($\ell_2$) между $(0,0)$ и $(10, 7)$. Какое больше? Почему?

GPS показывает твою позицию $(\text{лат},\ \text{долг}) = (45{,}123,\ -23{,}456)$ и подруги в $(45{,}126,\ -23{,}450)$. Оцени расстояние в метрах, используя $1° \approx 111$ км.

В ML два точки $\mathbf{x} = (1, 2, 3, 4)$ и $\mathbf{y} = (5, 6, 7, 8)$ в $\mathbb{R}^4$. Вычисли евклидово расстояние. (Отв: 8.)

В квадратной комнате со стороной $L = 10$ м вычисли расстояние от геометрического центра к каждому углу. Почему центр — идеальная позиция для роутера Wi-Fi?

Три школы находятся в точках $A=(0,0)$, $B=(4,0)$ и $C=(0,3)$ (координаты в км). Библиотека должна быть построена в точке, равноудалённой от трёх школ. Где эта точка и на каком расстоянии она находится от каждой школы?

(Вызов.) Какова длина стороны наибольшего равностороннего треугольника, который можно вписать в квадрат со стороной 1? Также вычисли площадь этого треугольника.

Доказательство. Докажи формулу расстояния между двумя произвольными точками плоскости, используя теорему Пифагора.

Доказательство. Покажи, что середина $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ равноудалена от концов $P$ и $Q$, и что каждое расстояние ровно $\dfrac{1}{2}d(P,Q)$.

Доказательство. Покажи, что если три точки коллинеарны, то площадь треугольника, образованного ими, нулевая.

Доказательство. Сформулируй и докажи неравенство треугольника для расстояний на плоскости: $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$. Когда происходит равенство?

(Вызов.) Найди центр описанной окружности треугольника с вершинами $(0,0)$, $(4,0)$ и $(0,3)$. Проверь, что он является серединой гипотенузы.

(Вызов.) Покажи, что $A=(0,0)$, $B=(3,1)$, $C=(5,4)$, $D=(2,3)$ образуют параллелограмм, используя две стратегии: (a) противоположные стороны равны; (b) диагонали взаимно делят друг друга пополам.